數學歸納法證明的步驟

2024-03-20 證明

　　在我們平凡的日常里，要用到證明的地方還是很多的，證明是持有者用以證明自己身份、經歷或某事真實性的一種憑證。我們該怎么擬定證明呢？下面是小編收集整理的數學歸納法證明的步驟，僅供參考，歡迎大家閱讀。

　　基本步驟

　　（一）第一數學歸納法：

　　一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟：

　　（1）證明當n取第一個值n0時命題成立.n0對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；

　　（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

　　綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立.

　　（二）第二數學歸納法：

　　對于某個與自然數有關的命題P(n），（1）驗證n=n0時P(n）成立；

　　（2）假設n0≤nn0）成立，能推出Q(k）成立，假設 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；

　　綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），P(n），Q(n）都成立.

　　原理

　　最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等于任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

　　證明當n= 1時命題成立。

　　假設n=m時命題成立，那么可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）

　　這種方法的原理在于：首先證明在某個起點值時命題成立，然后證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那么任意值都可以通過反復使用這個方法推導出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：

　　證明第一張骨牌會倒。

　　證明只要任意一張骨牌倒了，那么與其相鄰的下一張骨牌也會倒。

　　解題要點

　　數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，第一步：驗證n取第一個自然數時成立

　　第二步：假設n=k時成立，然后以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

　　最后一步總結表述。

　　需要強調是數學歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：

　　證明1：所有的馬都是一種顏色

　　首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。

　　第二步，假設這個命題對n成立，即假設任何n匹馬都是一種顏色。那么當我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：

　　1， 2， 3……n， n+1

　　對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設可以得到，它們都是同一種顏色；

　　對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；

　　由于這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。

　　這個證明的錯誤來于推理的第二步：當n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數學歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。

　　證明2：舉例證明下面的定理

　　——等差數列求和公式

　　第一步，驗證該公式在 n = 1 時成立。即有左邊=1，右邊=

　　=1，所以這個公式在n = 1時成立。

　　第二步，需要證明假設n = m 時公式成立，那么可以推導出n = m+1 時公式也成立。步驟如下：

　　假設n = m 時公式成立，即

　　（等式1）

　　然后在等式兩邊同時分別加上m + 1 得到

　　（等式2）

　　這就是n = m+1 時的等式。我們下一步需要根據等式1證明等式2 成立。通過因式分解合并，等式2的右邊

　　也就是

　　這樣我們就完成了由n=m成立推導出n=m+1成立的過程，證畢。

　　結論：對于任意自然數n，公式均成立。

　　對于以上例2的分析

　　在這個證明中，歸納的過程如下：

　　首先證明n=1成立。

　　然后證明從n=m 成立可以推導出n=m+1 也成立（這里實際應用的是演繹推理）。

　　根據上兩條從n=1 成立可以推導出n=1+1，也就是n=2 成立。

　　繼續推導，可以知道n=3 成立。

　　從 n=3 成立可以推導出n=4 也成立……

　　不斷重復3的推導過程（這就是所謂“歸納”推理的地方）。

　　我們便可以下結論：對于任意非零自然數n，公式成立。

　　記數學歸納法數學答題技巧

　　數學歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。

　　數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎，第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(或n≥n且n∈N)結論都正確”。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。

　　運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。

　　運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。

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