高三數學歸納法教案

2024-07-11

高三數學歸納法教案

　　一、教學目標

　　1.了解歸納法的意義，培養學生觀察、歸納、發現的能力.

　　2.了解數學歸納法的原理，能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟.

　　3.抽象思維和概括能力進一步得到提高.

　　二、教學重點與難點

　　重點：借助具體實例了解數學歸納的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數n(n取無限多個值)有關的數學命題。

　　難點：1、學生不易理解數學歸納的思想實質，具體表現在不了解第二個步驟的作用，不易根據歸納假設作出證明;

　　2、運用數學歸納法時，在歸納遞推的步驟中發現具體問題的遞推關系。

　　三、教學過程

　　(一)創設情景

　　對于數列{an}，已知， (n=1,2,), 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為。這個猜想是否正確需要證明。

　　一般來說，與正整數n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證就很麻煩。特別是n可取所有正整數時逐一驗證是不可能的。因此，我們需要尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數都成立。

　　(二)研探新知

　　1、了解多米諾骨牌游戲。

　　可以看出，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：

　　(1)第一塊骨牌倒下;

　　(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。

　　思考：你認為條件(2)的作用是什么?

　　可以看出，條件(2)事實上給出了一個遞推關系：

　　當第k塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。

　　這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證(1)(2)成立。

　　2、用多米諾骨牌原理解決數學問題。

　　思考：你認為證明數列的通過公式是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎?你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎?

　　分析：

　　多米諾骨牌游戲原理通項公式的證明方法

　　(1)第一塊骨牌倒下。 (1)當n=1時a1=1，猜想成立

　　(2)若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。 (2)若當n=k時猜想成立，即，則當n=k+1時猜想也成立，即。

　　根據(1)和 (2)，可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據(1)和(2)，可知對任意的正整數n，猜想都成立。

　　3、數學歸納法的原理

　　一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：

　　(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0時命題成立;

　　(2)(歸納遞推)假設n=k( )時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

　　只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立。

　　上述證明方法叫做數學歸納法

　　注意：(1)這兩步步驟缺一不可。

　　(2)用數學歸納法證明命題時，難點和關鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運用歸納假設，結合已知條件和其他數學知識，證明當n=k+1時命題成立。

　　(3)數學歸納法可證明有關的正整數問題，但并不是所有的正整數問題都用數學歸納法證明，學習時要具體問題具體分析。

　　4、例題講解

　　例1 課本P94

　　例2 課本P94

　　例3.用數學歸納法證明：1+3+5++(2n-1)=n2。

　　證明：(1)當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立.

　　(2)假設當n=k時，等式成立，就是1+3+5++(2k-1)=k2，

　　那么

　　1+3+5++(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。

　　即當n=k+1時等式也成立。

　　根據(1)和(2)，可知等式對任何nN *都成立。

　　(三)課堂練習：

　　1、用數學歸納法證明：1+2+3++n= 。

　　2、課本P95練習1、2。

　　(四)小結：

　　數學歸納法的原理和步驟。

　　(五)布置作業：

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