數(shù)學(xué)歸納法證明的原理
數(shù)學(xué)歸納法證明的原理
數(shù)學(xué)歸納法證明的是與自然數(shù)有關(guān)的命題，它的依據(jù)是皮亞諾提出的自
然數(shù)的序數(shù)理論，就是通常所說的自然數(shù)的皮亞諾公理，內(nèi)容是：
（１）ｌ 是自然數(shù)。
（２）每個(gè)自然數(shù) ａ 有一個(gè)確定的“直接后繼”數(shù) ａ’，ａ 也是自然數(shù)。
（２）ａ’≠１，即 １ 不是任何自然數(shù)的“直接后繼”數(shù)。
（４）由 ａ’＝ｂ’，推得 ａ＝ｂ，即每個(gè)自然數(shù)只能是另外的唯一自然的“直
接后繼”數(shù)。
（５）任一自然數(shù)的集合，如果包含 １，并且假設(shè)包含 ａ，也一定包含 ａ
的“直接后繼”數(shù) ａ’，則這個(gè)集合包含所有的自然數(shù)。
皮亞諾公理中的（５）是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)，又叫歸納公理
數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用及舉例。
因?yàn)橛杉僭O(shè)知 ４２ｋ＋１＋３ｋ＋２ 能被 １３ 整除，１３４２ｋ＋１ 也能被 １３ 整除，這就
是說，當(dāng) ｎ＝ｋ＋１ 時(shí)，ｆ（ｋ＋ｌ）能被 １３ 整除。根據(jù)（１）、（２），可知命題
對任何 ｎ∈Ｎ 都成立。
下面按歸納步中歸納假設(shè)的形式向讀者介紹數(shù)學(xué)歸納法的幾種不同形式
以及它們的應(yīng)用。
（ｌ）簡單歸納法。即在歸納步中，歸納假設(shè)為“ｎ＝ｋ 時(shí)待證命題成立”。
這是最常用的一種歸納法，稱為簡單歸納法，大家都比較熟悉，這里不再贅
述。
（２）強(qiáng)歸納法。這種數(shù)學(xué)歸納法，在歸納步中，其歸納假設(shè)為“ｎ≥ｋ
時(shí)待證命題成立”。我們稱之為強(qiáng)歸納法，又叫串值歸納法。
通常，如果在證明 ｐ（ｎ＋ｌ）成立時(shí)，不僅依賴于 ｐ（ｎ）成立，而且還
可能依賴于以前各步時(shí)，一般應(yīng)選用強(qiáng)歸納法，下面舉例說明其應(yīng)用。
例 有數(shù)目相等的兩堆棋子，兩人輪流從任一堆里取幾項(xiàng)棋子，但不能
不取也不能同時(shí)從兩堆里取，規(guī)定凡取得最后一項(xiàng)者勝。求證后者必勝。
證：歸納元 ｎ 為每堆棋子的數(shù)目。設(shè)甲為先取者，乙為后取者。
奠基 ｎ＝ｌ，易證乙必勝。
歸納 設(shè) Ｎ ｎ≤ｋ 時(shí)，乙必勝。現(xiàn)證 ｎ＝ｋ＋ｌ 時(shí)也是乙必勝。
設(shè)甲在某堆中先取 ｒ 顆，Ｏ＜ｒ≤ｋ。乙的對策是在另一堆中也取 ｒ 顆。有
二種可能：
（１）若 ｒ＜ｋ，經(jīng)過兩人各取一次之后，兩堆都只有 ｋ－ｒ 顆，ｋ－ｒ＜ｋ，
現(xiàn)在又輪到甲先取，依歸納假設(shè)，乙必勝。
（２）若 ｒ＝ｋ，顯然是乙勝，證畢。
上述形式的歸納法雖然比較簡單，但如使用不當(dāng)，往往會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，有
兩點(diǎn)應(yīng)注意：第一，在使用歸納假設(shè)時(shí)防止無形中引入不相干的假設(shè)。第二，
在證明過程中應(yīng)注意數(shù)學(xué)規(guī)律的正確性。下面我們引入一個(gè)反例，在這個(gè)反
例中，由于錯(cuò)誤的證明導(dǎo)致證得了錯(cuò)誤的待證命題。
反倒：證明任意 ｎ 條直線均能重合成一條直線。
下面給出錯(cuò)誤的證明：
證：奠基 ｎ＝１ 時(shí)該命題成立。
歸納 利用強(qiáng)歸納法，可以有如下的歸納假設(shè)：任意 １ 條，２ 條，３ 條，…，
ｋ 條直線均重合成一條直線，要證 ｋ＋１ 條直線也重合成一條直線，設(shè)這 ｋ＋１
條直線為 ｌ１、ｌ２、…，ｌｋ，ｌｋ＋１ 由強(qiáng)歸納假設(shè)得 ｌ１，…，ｌｋ…重合為一條直線，
記為 ｌ。又由強(qiáng)歸納假設(shè)得 ｌ 和 ｌｋ＋１ 重合為一條直線，于是任意 ｎ 條直線便
重合一條直線了。
細(xì)心的讀者也許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這里的錯(cuò)誤了，這是由于錯(cuò)誤地使用了強(qiáng)歸納
假設(shè)而造成的。具體地說，這是在“ｌ 和 ｌｋ＋１ 這兩條直線重合為一條直線”
這一點(diǎn)把強(qiáng)歸納假設(shè)使用錯(cuò)了。強(qiáng)歸納假設(shè)中并沒有包含這一條件，因?yàn)槲?/p>
們這里奠的基是 ｎ＝ｌ，因此待證命題“ｋ＋１ 條直線重合為一條直線”要求對于
一切大于等于 １ 的 ｋ 成立，而上面證明中所假設(shè)的 ｌ 和 ｌｋ＋１ 重合為一條直線
實(shí)際上是要求 ｋ≥２，這就是錯(cuò)誤的所在。
（３）參變歸納法。在待證命題中含有參數(shù)的時(shí)候，例如 Ｐ（ｕ，ｎ），則
用數(shù)學(xué)歸納法證明 Ｐ（ｕ，ｎ）對一切 ｎ 成立時(shí)，在奠基步中，應(yīng)證 Ｐ（ｕ，０）
對一切 ｕ 成立。在歸納步中，假設(shè) Ｐ（ｕ，ｋ）對一切 ｕ 成立，證明 Ｐ（ｕ，ｋ＋１）
對一切 ｕ 成立。這里，“Ｐ（ｕ，ｋ）”對一切 ｕ 成立稱之為參變歸納假設(shè)，這
種證明方法叫做參變歸納法，Ｕ 起著參數(shù)的作用。
例 求證當(dāng) ｎ≥３ 時(shí)有 ｎ（ｎ＋１）≥（ｎ＋１）３。
本題證明的困難主要在于歸納步驟，無論采用哪種歸納假設(shè)，都難于證
明。如果我們對該待證命題施展一定的技巧，把該式中的部分 ｎ 寫成 ｕ（視
作參數(shù)），部分 ｎ 保持不變，即寫成
ｎｕｎ≥（ｕ＋ｌ）ｎ，
則可用參變歸納法證明當(dāng) ｕ≥ｎ≥３ 時(shí)上式成立，原命題即可得證。
奠基 ｎ＝３ 時(shí)，對 ｕ≥３ 的一切 ｕ 均有
右端＝３ｕ３＝ｕ３＋ｕｕ２ｕ
≥ｕ３＋３ｕ＋ｇｕ
＞ｕ３＋３ｕ２＋３ｕ＋１
＝（ｕ＋１）３＝右端
歸納 ｎ＝ｋ＋１ 時(shí)，
左端＝（ｋ＋１）Ｕｋ＋１＝ｕ（ｋ＋１）ｕｋ
＝（ｕｋ 十 ｕ）ｕｋ≥（ｕｋ 十 ｋ）Ｕｋ
＝ｋ（ｕ＋ｌ）ｕｋ≥（ｎ＋１）（ｕ＋１）ｋ
＝（Ｕ＋ｌ）ｋ＋１＝右端。
所以當(dāng) ｕ≥ｎ≥３ 時(shí)，有 ｎｕｎ＞（ｕ＋ｌ）ｎ。
令 ｕ＝ｎ，上式便為 ｎｎ＋１≥（ｎ＋ｌ）ｎ，即為原不等式，故原不等式得證。
值得指出的是，上面三種形式的數(shù)學(xué)歸納法，都要求待證命題含有自然
數(shù)變元 ｎ，對 ｎ 施行歸納，ｎ 稱為歸納變元，但是在數(shù)學(xué)的一些分支中，有些
待證命題表面上看來似乎不含自然數(shù)變元 ｎ，但仔細(xì)一分析，實(shí)際上是含有
自然數(shù)變元的，當(dāng)我們一旦把 ｎ 的含義明確以后，用數(shù)學(xué)歸納法去證明這些
待證命題就迎刃而解了。舉一個(gè)簡單的例子。
例 證明由｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝四個(gè)標(biāo)識符利用＋、－運(yùn)算符組成的任意算術(shù)
表達(dá)式中，所含標(biāo)識符的個(gè)數(shù)一定等于這個(gè)表達(dá)式中運(yùn)算符的個(gè)數(shù)加 １。
證：設(shè)任意的表達(dá)式為 ｆ，而歸納變元 ｎ 為 ｆ 中所含運(yùn)算符的個(gè)數(shù)。
奠基 ｎ＝０，則 ｆ 由一個(gè)標(biāo)識符組成（因?yàn)闆]有運(yùn)算符），所以命題成立。
歸納 假設(shè) ｎ≤ｋ 時(shí)本命題成立，現(xiàn)證 ｎ＝ｋ＋１ 時(shí)本命題也成立。 ｆ 一
定是下述兩種情況之一：
ｆ 是 ｆ１＋ｆ２ 或 ｆ 是 ｆ１－ｆ２。
其中 ｆ１，ｆ２ 所含的運(yùn)算符個(gè)數(shù)都小于 ｋ＋ｌ，對 ｆ１，ｆ２ 使用歸納假設(shè)，可
得 ｆ１＋ｆ２，ｆ１－ｆ２ 中所含標(biāo)識符個(gè)數(shù)也比各自所含的運(yùn)算符的個(gè)數(shù)多 １。
（４）廣義歸納法。數(shù)學(xué)歸納法不僅可用于含有自然數(shù)變元 ｎ 的命題，經(jīng)
推廣后，還可用于含有某些其它集合上的命題。這種集合，稱為歸納集。對
于一個(gè)含有某個(gè)歸納集上的變元 ｘ 的待證命題 Ｐ（ｘ），所用的歸納法稱之為
廣義歸納法。
定義：設(shè)有一個(gè)集合 Ａ，如果它滿足下面三個(gè)性質(zhì)：
（１）ａ１，ａ２…，ａｎ 是 Ａ 中的元素（ｎ≥１）；
（２）如果 ｘ 是 Ａ 中元素，則 ｆ１１（ｘ），ｆ１２（ｘ），…ｆ１ｎ１（ｘ）也是 Ａ 中
的元素（ｎ、＞０）；
如果 ｘ，ｙ 是 Ａ 是元素，則 ｆ２１（ｘ、ｙ），ｆ２２（ｘ，ｙ），…ｆ２ｎ２（ｘ，ｙ）
也是 Ａ 中元素（ｎ２＞０）；…；
如果 ｘ１…，ｘｍ 是 Ａ 中元素，則 ｆｍ１ ｘｌ…ｘｍ），ｆｍ２（ｘｌ…，ｘｍ），…ｆｍｎｍ
（ｘ１…，ｘｍ）也是 Ａ 中元素（ｍ≥ｌ，ｎｍ＞０）。
（３）Ａ 中的元素僅限于此。
則 Ａ 稱之為歸納集 ａ１，ａ２，…ａｎ 稱為該集的開始元素，諸 ｆｉｊ 稱為該集
的生成函數(shù)（其中第一下標(biāo)為該函數(shù)的元素，第二下標(biāo)以區(qū)分具有同樣元素
的各函數(shù)）。
按照上述的定義，自然數(shù)集是歸納集，它的開始元素是 ０，生成函數(shù)是 ｆ
（ｘ）＝ｘ＋１。
前例中集｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝的元素利用“＋”，“－”運(yùn)算所構(gòu)成的一切表
達(dá)式的集合是歸納集，開始元素是是 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，生成函數(shù)為 ｆ２１（ｘ，ｙ）
＝ｘ＋ｙ，ｆ２２（ｘ，ｙ）＝ｘ－ｙ。
在證明含有某個(gè)歸納集 Ａ 上的變元 Ｘ 的待證命題 Ｐ（ｘ）時(shí)，可用如下的
廣義歸納法。
奠基步要證明（ａｌ），Ｐ（ａ２），……Ｐ（ａｎ）成立，這里 ａｌ，ａ２…，ａｎ
是 Ａ 中的開始元素。
歸納法要證明對于 １≤ｉ≤ｍ 及 １≤ｊ≤ｎ 的所有 ｉ、ｊ 對于 Ａ 中的任何元
素 ｘ１，ｘ２…，ｘｉ，如果 Ｐ（ｘｌ），Ｐ（ｘ２），…，Ｐ（ｘ１）成立，則 Ｐ（ｆｉｊ（ｘｘ１，…，
ｘｉ））也成立。在例 ４ 中，因?yàn)楸磉_(dá)式所組成的集合是歸納集（記為 Ａ），
我們可用廣義歸納法證之。
奠基：對于 Ａ 中的四個(gè)開始元素 ａ，ｂ，Ｃ，ｄ，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)識符個(gè)數(shù)為
１， 而運(yùn)算符個(gè)數(shù)均為 ０，所以命題成立。
歸納：對于 Ａ 中的元素 ｘ，ｙ，ｆ２１（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ 中，我們設(shè) ｘ＋ｙ 標(biāo)識
符個(gè)數(shù)為 ｍ，運(yùn)算符個(gè)數(shù)為 ｎ；
ｘ 中標(biāo)識符個(gè)數(shù)為 ｍｌ，運(yùn)算符個(gè)數(shù)為 ｎｌ；
ｘ 中標(biāo)識符個(gè)數(shù)為 ｍ２，運(yùn)算符個(gè)數(shù)為 ｎ２；
則
ｍ＝ｍｌ＋ｍ２＝（ｎ１＋１）＋（ｎ２＋１）
（ｎｌ＋ｎ＋１）＋１＝ｎ＋１．
同理可證 ｆ２２（ｘ，ｙ）＝ｘ－ｙ 也有如上的結(jié)果，故依廣義歸納法，本命題
成立。
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