一、選擇題
1.(2012北京)函數的零點個數為( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
考查目的：考查函數零點的概念、函數的單調性和數形結合思想.
答案：B.
解析：(方法1)：令得， ，在平面直角坐標系中分別畫出冪函數和指數函數的圖象，可知它們只有一個交點，∴函數的零點只有一個.
(方法2)：∵函數在上單調遞增，且，∴函數的零點只有一個.答案選B.
2.(2010天津)函數的零點所在的一個區間是( ).
A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2)
考查目的：考查函數零點的存在性定理.
答案：B
解析：∵，，∴答案選B.
3.(2009福建)若函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25， 則可以是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查函數零點的概念和零點存在性定理.
答案：A.
解析：的零點為，的零點為，的零點為， 的零點為.下面估算的零點. ∵，，∴的零點.依題意，函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，∴只有的零點符合題意，故答案選A.
4.在研制某種新型材料過程中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是( ).
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A. B. C. D.
考查目的：考查幾類不同增長類型函數模型與實際問題的擬合程度.
答案：D.
解析：通過檢驗可知，只有函數較為接近，故答案選D.
5.已知函數，，的零點分別為，，則的大小關系是( ).
A. B.
C. D.
考查目的：考查函數零點的定義，指數函數、對數函數、冪函數、一次函數的圖象，以及數形結合思想.
答案：C.
解析：由已知得，，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，由圖象可知，，故答案選C.
6.(2010陜西)某學校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數與該班人數之間的函數關系用取整函數(表示不大于的最大整數)可以表示為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查函數的建模及其實際應用，意在考查分析問題與解決問題的能力.
答案：B.
解析：(方法1)：當除以的余數0，1，2，3，4，5，6時，由題設知，且易驗證，此時.當除以10的余數為7，8，9時，由題設知，易驗證，此時.
綜上得，必有，故選B.
(方法2)：依題意知：若，則，由此檢驗知選項C，D錯誤.若，則，由此檢驗知選項A錯誤.故由排除法知，本題答案應選B.
二、填空題
7.(2009浙江)某地區居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區的電網銷售電價表如下：
高峰時間段用電價格表
低谷時間段用電價格表
高峰月用電量
(單位：千瓦時)
高峰電價
(單位：元/千瓦時)
低谷月用電量
(單位：千瓦時)
低谷電價
(單位：元/千瓦時)
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超過50至200的部分
0.598
超過50至200的部分
0.318
超過200的部分
0.668
超過200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為千瓦時，低谷時間段用電量為千瓦時，則按這種計費方式，該家庭本月應付的電費為 元(用數字作答).
考查目的：考查分段函數在解決實際問題中的應用.
答案：.
解析：該家庭本月應付電費由兩部分構成：高峰部分為，低谷部分為
，這兩部分電費之和為(元).
8.(2009山東)若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是__________．
考查目的：考查函數零點的定義，指數函數與一次函數的圖象，數形結合的思想.
答案：.
解析：設函數和函數，則函數有兩個零點，就是函數的圖象與函數的圖象有兩個交點.由圖象可知，當時，兩個函數的圖象只有一個交點，不符合題意；當時，∵函數的圖象過點(0，1)，而直線所過的點一定在點(0，1)的上方，∴兩個函數的圖象一定有兩個交點，∴實數的取值范圍是.
9.某電腦公司2012年的各項經營收入中，經營電腦配件的`收入為400萬元，占全年經營總收入的40%.該公司預計2014年經營總收入要達到1690萬元，且計劃從2012年到2014年，每年經營總收入的年增長率相同，則2013年預計經營總收入為________萬元.
考查目的：考查增長率模型在實際問題中的應用和讀題審題能力.
答案：1300.
解析：設年平均增長率為，則，∴，∴2013年預計經營總收入為×＝1300(萬元).
10.(2010全國I理15改編)若函數有四個零點，則實數的取值范圍是 .
考查目的：考查函數零點的定義，函數的圖象與性質、不等式的解法，和數形結合思想.
答案：.
解析：在平面直角坐標系內，先畫函數的圖象.當時，，圖象的頂點為，與軸交于點(0，-1)；當時，，圖象的頂點為，與軸交于點(0，-1).是一條與軸平行的直線.當時，直線與函數的圖象有4個交點，即當，函數有四個零點.
11.為了預防流感，某段時間學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.設藥物開始釋放后第小時教室內每立方米空氣中的含藥量為毫克.已知藥物釋放過程中，教室內每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時間(小時)成正比.藥物釋放完畢后，與的函數關系式為(為常數).函數圖象如圖所示.則從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時間(小時)之間的函數關系式為 .
考查目的：考查待定系數法求指數函數、一次函數解析式的方法，以及閱讀理解能力和分類討論思想.
答案：.
解析：函數圖象由一條線段與一段指數函數圖象組成，它們的交點為(0.1，1).當時，由(毫克)與時間(小時)成正比設，∴，解得，∴.當時，將(0.1，1)代入得，∴，，∴函數關系式為。
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