（1）教材分析與學(xué)情分析
（2）教學(xué)目標(biāo)
(a)知識(shí)與技能
1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析。
2.基本能根據(jù)算法語(yǔ)句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫(xiě)出算法程序。
(b過(guò)程與方法
在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)比我們常見(jiàn)的約分求公因式的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系膮^(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的一般步驟。
(c)情態(tài)與價(jià)值
1.通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。
2.在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法的過(guò)程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力。
（3）教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。
難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語(yǔ)言。
（4）學(xué)法與教學(xué)用具
學(xué)法：在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能模仿已經(jīng)學(xué)過(guò)的程序框圖與算法語(yǔ)句設(shè)計(jì)出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的'程序框圖與算法程序。
教學(xué)用具：多媒體
（5）教學(xué)設(shè)想
(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
1.教師首先提出問(wèn)題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)求最大公約數(shù)的知識(shí)，你能求出18與30的公約數(shù)嗎?
2.接著教師進(jìn)一步提出問(wèn)題，我們都是利用找公約數(shù)的方法來(lái)求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)?比如求8251與6105的最大公約數(shù)?這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容。
(二)研探新知
1.輾轉(zhuǎn)相除法
例1求兩個(gè)正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。
(分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒(méi)有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點(diǎn)，根據(jù)已有的知識(shí)即可求出最大公約數(shù))
解：8251=6105×1+2146
顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)。
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
則37為8251與6105的最大公約數(shù)。
以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：
第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商q0和一個(gè)余數(shù)r0;
第二步：若r0=0，則n為m，n的最大公約數(shù);若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個(gè)商q1和一個(gè)余數(shù)r1;
第三步：若r1=0，則r1為m，n的最大公約數(shù);若r1≠0，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個(gè)商q2和一個(gè)余數(shù)r2;
……
依次計(jì)算直至rn=0，此時(shí)所得到的rn-1即為所求的最大公約數(shù)。
練習(xí)：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)(答案：53)
思考1：從上面的兩個(gè)例子可以看出計(jì)算的規(guī)律是什么?
算法步驟：
S1：給定兩個(gè)正整數(shù)m,n
S2：用大數(shù)除以小數(shù)，計(jì)算m除以n所得的余數(shù);
S3：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)，即 m=n , n=r
S4：重復(fù)S2,直到余數(shù)為0，即 若r=0，則m, n的最大公約數(shù)為m，否則返回S2
思考2：輾轉(zhuǎn)相除法中的關(guān)鍵步驟是哪種邏輯結(jié)構(gòu)?
輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。
用程序框圖表示出右邊的過(guò)程
m = n×q+r
練習(xí)1：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù).
思考:你能用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎?寫(xiě)出算法步驟、程序框圖和程序。
2.更相減損術(shù)
我國(guó)早期也有解決求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。
更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。
翻譯出來(lái)為：
第一步：任意給出兩個(gè)正數(shù);判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn);若不是，執(zhí)行第二步。
第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。
例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).
解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98與63的最大公約數(shù)是7。
練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。(答案：12)
3.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別
(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。
(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到
5.課堂練習(xí)
一.用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù)，并在自己編寫(xiě)的BASIC程序中驗(yàn)證。
(1)225;135 (2)98;196 (3)72;168 (4)153;119
二.思考：用求質(zhì)因數(shù)的方法可否求上述4組數(shù)的最大公約數(shù)?可否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設(shè)計(jì)出程序框圖及程序?若能，在電腦上測(cè)試自己的程序;若不能說(shuō)明無(wú)法實(shí)現(xiàn)的理由。
三.思考：利用輾轉(zhuǎn)相除法是否可以求兩數(shù)的最大公倍數(shù)?試設(shè)計(jì)程序框圖并轉(zhuǎn)換成程序在BASIC中實(shí)現(xiàn)。
6.小結(jié)：
輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的計(jì)算方法及完整算法程序的編寫(xiě)。
（6）評(píng)論設(shè)計(jì)
作業(yè)：P38 A(1)B(2)
課后思考：設(shè)計(jì)更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的程序框圖與算法程序。
（7）反思
小編為大家提供的高二數(shù)學(xué)上冊(cè)算法與案例教學(xué)計(jì)劃大家仔細(xì)閱讀了嗎?最后祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步。
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