恒成立與存在性問題方法總結

2021-03-31 總結

　　高三數學復習中的恒成立與存在性問題，涉及一次函數、二次函數等函數的性質、圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養學生思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個熱點，恒成立與存在性問題的處理途徑有多種，下面是小編整理的恒成立與存在性問題方法總結，歡迎來參考！

　　 一、構建函數

　　構建適當的函數，將恒成立問題轉化為能利用函數的性質來解決的問題。

　　1、構建一次函數

　　眾所周知，一次函數的圖像是一條直線，要使一次函數在某一區間內恒大于（或小于）零，只需一次函數在某區間內的兩個端點處恒大于（或小于）零即可。

　　例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求實數k的取值范圍。

　　解：構建函數f（x）= kx+3k+1，則原問題轉化為f（x）在x∈（-2，2）內恒為正。若k=0，則f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，則f（x）為一次函數，問題等價于f（-2）＞0，f（2）＞0，

　　解之得k∈（- ，+∞）。

　　例2：對m≤2的.一切實數m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范圍。

　　解：原問題等價于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，設f（m）=（x -1）m-（2x-1），則原問題轉化為求一次函數f（m）或常數函數在［-2，2］內恒為負值時x的取值范圍。

　　（1）當x -1=0時，x=±1。

　　當x=1時，f（m）＜0恒成立；當x=-1時，f（m）＜0不成立。

　　（2）當x -1≠0時，由一次函數的單調性知：f（m）＜0等價于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；綜上，所求的x∈（）。

　　2、構建二次函數

　　二次函數的圖像和性質是中學數學中的重點內容，利用二次函數的圖像特征及相關性質來解決恒成立問題，使原本復雜的問題變得容易解決。

　　例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求實數a的取值范圍。

　　解：構造函數g（x）= ax +2x+1，則原問題等價于：當x≥0時，g（x）恒大于0。

　　若a=0且x≥0，則g（x）= 2x+1＞0恒成立；

　　若a≠0，則g（x）為二次函數，當a＜0時，顯然當x≥0時不能使g（x）恒大于0，僅當a＞0時，要使當x≥0時，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0

　　∴a的取值范圍為［0，+∞）。

　　3、構建形如f（x）=ax+ 的函數

　　通過換元、變形，將原問題轉化為形如f（x）=ax+ 的函數的最值問題，再合理利用該函數的單調性等性質來解題，常要用到如下結論：

　　（1）f（x）=ax+ 為奇函數，（2）當a＞0，b＞0時，f（x）在0，上遞減，在，+∞上遞增。

　　例4：若不等式x -5x-6＜a（x-4）對于x∈［-1，1］恒成立，求a的取值范圍。

　　解：由x∈［-1，1］知：x-4＜0，則原問題等價于：當x∈［-1，1］時，＞a恒成立，即（x-4）- +3＞a，令t=x-4，則原問題又等價于：當t∈［-5，-3］時，t- +3＞a恒成立，構建函數f（t）= t- ，在t∈［-5，-3］上單調遞增，∴0≤3+f（t） ≤ ，要使3+ （t- ）＞a恒成立，只要a＜0即可。

　　二、分離參數

　　運用不等式的相關知識不難推出如下結論：

　　若對于x的取值范圍內的任何一個數，都有f（x）＞g（a）恒成立，則f （x）＞g（a），若對于x的取值范圍內的任何一個數，都有f（x）＜g（a）恒成立，則f （x）＜g（a）。

　　例5：若不等式|x-3|-|x+1|＜a在（-∞，+∞）內恒成立，求a的取值范圍。

　　解：構造函數f（x）=|x-3|-|x+1|，則a必須大于f（x）的最大值，由f（x）=-4，x≥32-2x，-1＜x＜34，x≤-1知，f （x）=4，故a的取值范圍為（4，+∞）。

　　三、特殊賦值

　　取特殊值的方法，對做選擇題很有效，在恒成立問題上也不失為一個好方法。

　　例7：已知實數a，b變化時，直線l ：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0恒過定點

　　解：∵直線l 恒過定點，

　　故令a=1，b=1，得3x+2y=0

　　a=0，b=1，得x+y-1=0

　　∴3x+2y=0x+y-1=0