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數列通項公式方法總結

2021-12-07 總結

  數列既是高中數學的重要內容,也是學習高等數學的基礎,因此,每年高考對本章內容均作較全面的考查,而且經常是以綜合題、主觀題的形式出現,難度較大,以下是小編整理數列通項公式方法總結的資料,歡迎閱讀參考。

  不過一般分小題、有梯度設問,往往是第1小題就是求數列的通項公式,難度適中,一般考生可突破,爭取分數,而且是做第2小題的基礎,因此,求數列通項公式的解題方法、技巧,每一位考生都必須熟練掌握。求數列通項公式的題型很多,不同的題型有不同的解決方法。下面結合教學實踐,談談求數列通項公式的解題思路。

  一、已知數列的前幾項

  已知數列的前幾項,求通項公式。通過觀察找規律,分析出數列的項與項數之間的關系,從而求出通項公式。這種方法稱為觀察法,也即是歸納推理。

  例1、求數列的通項公式

  (1)0,22——1/3,32——1/4,42+1/5……

  (2)9,99,999,……

  分析:(1)0=12——1/2,每一項的分子是項數的平方減去1,分母是項數加上1,n2——1/n+1=n——1,其實,該數列各項可化簡為0,1,2,3,……,易知an=n——1。

  (2)各項可拆成10-1,102-1,103-1,……,an=10n——1。

  此題型主要通過讓學生觀察、試驗、歸納推理等活動,且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質,從而培養學生的思維能力。

  二、已知數列的前n項和Sn

  已知數列的前n項和Sn,求通項公式an,主要通過an與Sn的關系轉化,即an -{ S1(n=1) Sn -Sn——1(n≥2)

  例2、已知數列{an }的前n項和Sn=2n+3,求an

  分析:Sn=a1+a2 +……+an——1+an

  Sn——1=a1+a2 +……+an——1

  上兩式相減得 Sn -Sn——1=an

  解:當n=1時,a1=S1=5

  當n≥2時,an =Sn -Sn——1=2n+3-(2n——1+3)=2n——1

  ∵n=1不適合上式

  ∴an ={5(n=1) 2n——1(n≥2)

  三、已知an與Sn關系

  已知數列的第n項an與前n項和Sn間的關系:Sn=f(an),求an。一般的思路是先將Sn與an的關系轉化為an與an——1的`關系,再根據與的關系特征分為如下幾種類型。不同的類型,要用不同的方法解決。

  (1)an=an——1+k。數列屬等差數列,直接代公式可求通項公式。

  例3、已知數列{an},滿足a1=3,an=an——1+8,求an。

  分析:由已知條件可知數列是以3為首項,8為公差的等差數列,直接代公式可求得an=8n-5。

  (2)an=kan——1(k為常數)。數列屬等比數列,直接代公式可求通項公式。

  例4、數列{an}的前n項和Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+)

  求數列{an}的通項公式。

  分析:根據an與Sn的關系,將an+1=2Sn+1轉化為an與an+1的關系。

  解:由an+1=2Sn+1

  得an=2Sn-1+1(n≥2)

  兩式相減,得an+1-an=2an

  ∴an+1=3an (n≥2)

  ∵a2=2Sn+1=3

  ∴a2=3a1

  ∴{an}是以1為首項,3為公比的等比數列

  ∴an=3n-1

  (3)an+1=an+f(n),用疊加法

  思路:令n=1,2,3,……,n-1

  得a2=a1+f(1)

  a3=a2+f(2)

  a4=a3+f(3)

  ……

  +an=an——1+f(n-1)

  an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

  例5、若數列{an}滿足a1=2,an+1=an+2n

  則{an}的通項公式=( )

  解:∵an+1=an+2n

  ∴a2 =a1+2×1

  a3=a2+2×2

  a4=a3+2×3

  ……

  +an=an——1+2(n-1)

  an=a1+2(1+2+3+…+n-1)

  =2+2×(1+n-1)(n-1)

  =n2-n+2

  (4)an+1=f(n)an,用累積法

  思路:令n=1,2,3,……,n-1

  得a2 =f(1)a1 a3=f(2)a2 a4=f(3)a3

  ……

  ×)an=f(n-1)an-1

  an=a1·f(1)·f(2)·f(3)……f(n-1)

  例6、若數列{an}滿足a1=1,an+1=2n+an,則an=( )

  解:∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

  a3=22a2 a4=23a3

  ……

  ×) an=2n——1·an——1

  an=2·22·23·……·2n-1a1=2n(n-1)/2

  (5)an=pan——1+q, an=pan——1+f(n)

  an+1=an+p·qn(pq≠0),

  an=p(an——1)q, an+1=ran/pan+q=(pr≠0,q≠r)

  (p、q、r為常數)

  這些類型均可用構造法或迭代法。

  ①an=pan——1+q (p、q為常數)

  構造法:將原數列的各項均加上一個常數,構成一個等比數列,然后,求出該等比數列的通項公式,再還原為所求數列的通項公式。

  將關系式兩邊都加上x

  得an+x=Pan——1+q+x

  =P(an——1 + q+x/p)

  令x=q+x/p,得x=q/p-1

  ∴an+q/p-1=P(an——1+q/p-1)

  ∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項,P為公比的等比數列。

  ∴an+q/p-1=(a1+q/p-1)Pn-1

  ∴an=(a1+q/p-1)Pn-1-q/p-1

  迭代法:an=p(an——1+q)=p(pan-2+q)+q

  =p2((pan-3+q)+pq+q……

  例7、數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-n(n∈N+)求an

  解析:由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2,n∈N+)

  兩式相減得an=2an-1+1

  兩邊加1得an+1=2(an-1+1) (n≥2,n∈N+)

  構造成以2為公比的等比數列{an+1}

  ②an=Pan-1+f(n)

  例8、數列{an}中,a1為常數,且an=-2an-1+3n-1(≥2,n∈N)

  證明:an=(-2)n-1a1+3n+(-1)n·3·2n-1/5

  分析:這道題是證明題,最簡單的方法當然是數學歸納法,現用構造法和迭代法來證明。

  方法一:構造公比為-2的等比數列{an+λ·3n}

  用比較系數法可求得λ=-1/5

  方法二:構造等差型數列{an/(-2)n}。由已知兩邊同以(-2)n,得an/(-2)n=an-1/(-2)n=1/3·(-3/2)n,用疊加法處理。

  方法三:迭代法。

  an=-2an-1+3n-1=-2(-2an-2+3n-2)+3n-1

  =(-2)2an-2+(-2)·3n-2+3n-1

  =(-2)2(-2an-3+3n-3)+(-2)·3n-2+3n-1

  =(-2)3an-3+(-2)·3n-3+(-2)·3n-2+3n-1

  =(-2)n-1a1+(-2)n-1·3+(-2)n-3·+32+……+(-2)·3n-2+3n-1

  =(-2)n-1a1+3n+(-1)n-2·3·2n-1/5

  ③an+1=λan+p·qn(pq≠0)

  (ⅰ)當λ=qn+1時,等式兩邊同除以,就可構造出一個等差數列{an/qn}。

  例9、在數列{an}中,a1=4,an+1+2n+1,求an。

  分析:在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1,得an+1/2n+1=an/2n+1

  ∴{an/2n}是以a1/2=2為首項,1為公差的等差數列。

  (ⅱ)當λ≠q時,等式兩邊同除以qn+1,令bn=an/qn,得bn+1=λ/qbn+p,再構造成等比數列求bn,從而求出an。

  例10、已知a1=1,an=3an-1+2n-1,求an

  分析:從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n,

  得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

  令an/2n=bn

  則bn=3/2bn-1+1/2

  ④an=p(an——1)q(p、q為常數)

  例11、已知an=1/a an——12,首項a1,求an。

  方法一:將已知兩邊取對數

  得lgan=2lgan——1-lga

  令bn=lgan

  得bn=2bn-1-lga,再構造成等比數列求bn,從而求出an。

  方法二:迭代法

  an=1/a a2n——1=1/a (1/a a2n——2)2=1/a3 a4n——2

  =1/a3 (1/a a2n——3)4=1/a7·an——38=a·(an——3/a)23

  =……=a·(a1/a)2n——1

  ⑤an+1=ran/pan+q(p、q、r為常數,pr≠0,q≠r)

  將等式兩邊取倒數,得1/an+1=q/r·1/an+p/r,再構造成等比數列求an。

  例12、在{an}中,a1=1,an+1=an/an+2,求an

  解:∵an+1=an/an+2

  ∴1/an+1=2·1/an+1

  兩邊加上1,得1/an+1+1=2(1/an+1)

  ∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項,2為公比的等比數列

  ∴ 1/an+1=2×2n-1=2n

  ∴an=1/2n-1

  以上羅列出求數列通項公式的解題思路雖然很清晰,但是一般考生對第三項中的5種類型題用構選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況,可轉化為第一種類型解決,即從an與Sn的關系式求出數列的前幾項,用觀察法求an。

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