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圓的方程復習測試題帶解析

2021-06-17 試題

  圓的標準方程(x-a)+(y-b)=r中,有三個參數a、b、r,只要求出a、b、r,這時圓的方程就被確定。以下是圓的方程專題練習,請考生查缺補漏。

  一、填空題

  1.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標準方程是________.

  [解析] 設圓心C(a,b)(a0,b0),由題意得b=1.

  又圓心C到直線4x-3y=0的距離d==1,

  解得a=2或a=-(舍).

  所以該圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.

  [答案] (x-2)2+(y-1)2=1

  2.(2014南京質檢)已知點P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,點P關于直線x+y-1=0的對稱點也在圓C上,則圓C的'圓心坐標為________.

  [解析] 因為點P關于直線x+y-1=0的對稱點也在圓上,

  該直線過圓心,即圓心滿足方程x+y-1=0,

  因此-+1-1=0,解得a=0,所以圓心坐標為(0,1).

  [答案] (0,1)

  3.已知圓心在直線y=-4x上,且圓與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2),則該圓的方程是________.

  [解析] 過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3,與y=-4x聯立可求得圓心為(1,-4).

  半徑r=2,所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.

  [答案] (x-1)2+(y+4)2=8

  4.(2014江蘇常州模擬)已知實數x,y滿足x2+y2-4x+6y+12=0,則|2x-y|的最小值為________.

  [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1,令x=2+cos ,

  y=-3+sin ,則|2x-y|=|4+2cos +3-sin |

  =|7-sin (-7-(tan =2).

  [答案] 7-

  5.已知圓x2+y2+4x-8y+1=0關于直線2ax-by+8=0(a0,b0)對稱,則+的最小值是________.

  [解析] 由圓的對稱性可得,直線2ax-by+8=0必過圓心(-2,4),所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9,由=,則a2=4b2,又由a+b=2,故當且僅當a=,b=時取等號.

  [答案] 9

  6.(2014南京市、鹽城市高三模擬)在平面直角坐標系xOy中,若圓x2+(y-1)2=4上存在A,B兩點關于點P(1,2)成中心對稱,則直線AB的方程為________.

  [解析] 由題意得圓心與P點連線垂直于AB,所以kOP==1,kAB=-1,

  而直線AB過P點,所以直線AB的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0.

  [答案] x+y-3=0

  7.(2014泰州質檢)若a,且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a=________.

  [解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得-20)關于直線x+y+2=0對稱.

  (1)求圓C的方程;

  (2)設Q為圓C上的一個動點,求的最小值.

  [解] (1)設圓心C(a,b),

  由題意得解得

  則圓C的方程為x2+y2=r2,

  將點P的坐標代入得r2=2,

  故圓C的方程為x2+y2=2.

  (2)設Q(x,y),則x2+y2=2,

  =(x-1,y-1)(x+2,y+2)

  =x2+y2+x+y-4=x+y-2.

  令x=cos ,y=sin ,

  =x+y-2=(sin +cos )-2

  =2sin-2,

  所以的最小值為-4.

  10.已知圓的圓心為坐標原點,且經過點(-1,).

  (1)求圓的方程;

  (2)若直線l1:x-y+b=0與此圓有且只有一個公共點,求b的值;

  (3)求直線l2:x-y+2=0被此圓截得的弦長.

  [解] (1)已知圓心為(0,0),半徑r==2,所以圓的方程為x2+y2=4.

  (2)由已知得l1與圓相切,則圓心(0,0)到l1的距離等于半徑2,即=2,解得b=4.

  (3)l2與圓x2+y2=4相交,圓心(0,0)到l2的距離d==,所截弦長l=2=2=2.

  

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