高中數學競賽第三章函數練習題

2021-06-14 試題

　　第三章函數

　　一、基礎知識

　　例2 求函數f(x)= 的最大值。

　　五、聯賽一試水平訓練題

　　1．奇函數f(x)存在函數f-1(x)，若把=f(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關于直線=-x對稱，得到的曲線所對應的函數是________.

　　2．若a>0，a 1,F(x)是奇函數，則G(x)=F(x) 是________（奇偶性）.

　　3．若 =x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.

　　4.設函數f：R→R滿足f(0)=1，且對任意x,∈R，都有f(x+1)=f(x)f()-f()-x+2，則f(x)=________.

　　5．已知f(x)是定義在R上的`函數，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= ________.

　　6. 函數f(x)= 的單調遞增區間是________.

　　7. 函數f(x)= 的奇偶性是：________奇函數，________偶函數（填是，非）。

　　8. 函數=x+ 的值域為________.

　　9．設f(x)= ,

　　對任意的a∈R，記V(a)=ax{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-in{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，試求V(a)的最小值。

　　10．解方程組：（在實數范圍內）

　　11．設∈N+, f: N+→N+滿足：（1）f(x)嚴格遞增；（2）對任意n∈N+, 有f[f(n)]=n，求證：對任意n∈N+, 都有 n≤f(n)≤

　　六、聯賽二試水平訓練題

　　1．求證：恰有一個定義在所有非零實數上的函數f，滿足：（1）對任意x≠0, f(x)=xf ；（2）對所有的x≠-且x≠0，有f(x)+f()=1+f(x+).

　　2.設f(x)對一切x>0有定義，且滿足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函數；(ⅱ)任意x>0, f(x)f =1，試求f(1).

　　3. f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當x, , x+∈[0, 1]時，f(x)+f()≤f(x+)，試求最小常數c，對滿足（1），（2），（3）的函數f(x)都有f(x)≤cx.

　　4. 試求f(x,)=6(x2+2)(x+)-4(x2+x+2)-3(x+)+5(x>0, >0)的最小值。

　　5．對給定的正數p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

　　6．已知f: (0,1)→R且f(x)= .

　　當x∈ 時，試求f(x)的最大值。

　　7．函數f(x)定義在整數集上，且滿足f(n)= ，求f(100)的值。

　　8．函數=f(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標原點旋轉角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質的函數。

　　9．設Q+是正有理數的集合，試構造一個函數f: Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf())= x, ∈Q+.

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