雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)

2020-12-28 教案

　　在教學(xué)工作者實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，編寫(xiě)教案是必不可少的，編寫(xiě)教案有利于我們準(zhǔn)確把握教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)，進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。那要怎么寫(xiě)好教案呢？下面是小編為大家整理的雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)，希望能夠幫助到大家。

　　雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)（第1課時(shí)）

　　㈠課時(shí)目標(biāo)

　　1．熟悉雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。

　　2．能理解離心率的大小對(duì)雙曲線(xiàn)形狀的影響。

　　3．能運(yùn)用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　㈡教學(xué)過(guò)程

　　[情景設(shè)置]

　　敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫(xiě)下表：

　　方程

　　性質(zhì)

　　圖像（略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

　　對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心

　　頂點(diǎn)（±a，0）、（±b，0）

　　離心率e=(幾何意義)

　　（三）探索研究

　　1．類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線(xiàn) 的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率。

　　雙曲線(xiàn)的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)及離心率的定義。

　　雙曲線(xiàn)與橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比如下：

　　方程

　　性質(zhì)

　　圖像（略）（略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a，或x≤-a，y∈R

　　對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心

　　頂點(diǎn)（±a，0）、（±b，0）（-a，0）、（a，0）

　　離心率0＜e=＜1

　　e=＞1

　　下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：

　　（a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2， e=＞1）

　　2。漸近線(xiàn)的發(fā)現(xiàn)與論證

　　根據(jù)橢圓的上述四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（能）

　　根據(jù)上述雙曲線(xiàn)的四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（不能）

　　通過(guò)列表描點(diǎn)，能把雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫(huà)出來(lái)，但雙曲線(xiàn)向何處伸展就不很清楚。

　　我們能較為準(zhǔn)確地畫(huà)出曲線(xiàn)y=，這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線(xiàn)伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x軸、y軸無(wú)限接近）此時(shí)，x軸、y軸叫做曲線(xiàn)y=的漸近線(xiàn)。

　　問(wèn)：雙曲線(xiàn) 有沒(méi)有漸近線(xiàn)呢？若有，又該是怎樣的直線(xiàn)呢？

　　引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線(xiàn)的范圍時(shí)，由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：

　　y=± =±

　　當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，就無(wú)限趨近于零，也就是說(shuō)，這是雙曲線(xiàn)y=±

　　與直線(xiàn)y=± 無(wú)限接近。

　　這使我們猜想直線(xiàn)y=± 為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。

　　直線(xiàn)y=± 恰好是過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)x=±a， y=±b所成的.矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)，那么，如何證明雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)沿曲線(xiàn)向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線(xiàn)越來(lái)越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。

　　證法1：如圖，設(shè)M（x0，y0）為第一象限內(nèi)雙曲線(xiàn) 上的仍一點(diǎn)，則

　　y0= ，M（x0，y0）到漸近線(xiàn)ay-bx=0的距離為：

　　∣MQ∣= =

　　= ．

　　點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)， x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點(diǎn)就無(wú)限接近于 y=

　　故把y=± 叫做雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)。

　　3．離心率的幾何意義

　　∵e=，c＞a， ∴e＞1由等式c2-a2=b2，可得 ===

　　e越小（接近于1）越接近于0，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越小（扁狹）

　　e越大越大，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越大（開(kāi)闊）

　　4．鞏固練習(xí)

　　求下列雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，并畫(huà)出雙曲線(xiàn)。