線段的垂直平分線教案
教學(xué)目標(biāo)
1、經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力
2、能夠證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論
教學(xué)重點和難點
重點：線段的垂直平分線性質(zhì)與逆定理及其的應(yīng)用
難點：線段的垂直平分線的逆定理的理解和證明
教學(xué)方法觀察實踐法，分組討論法，講練結(jié)合法，自主探究法
教學(xué)手段多媒體課件
教學(xué)過程設(shè)計
一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題
這節(jié)課，我們來研究線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)。
二、師生共同研究形成概念
1、線段垂直平分線的性質(zhì)
1)猜想：我們看看上面我們所作的線段的垂直平分線有什么性質(zhì)?
引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)線段垂直平分線的性質(zhì)。
2)想一想書本P24上面
應(yīng)先讓學(xué)生自己思考證明的思路和方法，并嘗試寫出證明過程。
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
要證明一個圖形上每一點都具有某種性質(zhì)，只需要在圖形上任取一點作代表。這一思想方法應(yīng)讓學(xué)生理解。
3)符號語言
∵P在線段AB的垂直平分線CD上
∴PA=PB
4)定理解釋：
P為CD上的任意一點，只要P在CD上，總有PA=PB。
5)此定理應(yīng)用于證明兩條線段相等
2鞏固練習(xí)
1)如圖，已知直線AD是線段AB的垂直平分線，則AB=。
2)如圖，AD是線段BC的垂直平分線，AB=5，BD=4，則AC=，CD=，AD=。
3)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠AED=50°，則∠B的度數(shù)為。
2、線段垂直平分線的逆定理
1)想一想書本P24想一想
教學(xué)引入
師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現(xiàn)在請同學(xué)們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進(jìn)行折疊處理。
動畫演示：
場景一：正方形折疊演示
師：這就是我們得到的正方形。下面請同學(xué)們拿出三角板(刻度尺)和圓規(guī)，我們來研究正方形的幾何性質(zhì)—邊、角以及對角線之間的關(guān)系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。
[學(xué)生活動：各自測量。]
鼓勵學(xué)生將測量結(jié)果與鄰近同學(xué)進(jìn)行比較，找出共同點。
講授新課
找一兩個學(xué)生表述其結(jié)論，表述是要注意糾正其語言的規(guī)范性。
動畫演示：
場景二：正方形的性質(zhì)
師：這些性質(zhì)里那些是矩形的性質(zhì)?
[學(xué)生活動：尋找矩形性質(zhì)。]
動畫演示：
場景三：矩形的性質(zhì)
師：同樣在這些性質(zhì)里尋找屬于菱形的性質(zhì)。
[學(xué)生活動;尋找菱形性質(zhì)。]
動畫演示：
場景四：菱形的性質(zhì)
師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。
及時提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。
師：根據(jù)這些性質(zhì)，我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準(zhǔn)確的定義?
[學(xué)生活動：積極思考，有同學(xué)做躍躍欲試狀。]
師：請同學(xué)們回想矩形與菱形的定義，可以根據(jù)矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。
學(xué)生應(yīng)能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應(yīng)鼓勵，把以下三種板書：
“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”
“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”
[學(xué)生活動：討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]
師：根據(jù)定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系梳理一下。
困為這個命題不是“如果……那么……”的形式，所以學(xué)生說出或?qū)懗鏊哪婷}時可能會有一定的困難幫助學(xué)生分析它的條件和結(jié)論，再寫出其逆命題，最后應(yīng)要求學(xué)生按證明的格式將證明過程書寫出來。
2)猜想：我們說“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”，那么，到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上有什么性質(zhì)?
引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)線段垂直平分線的判定。
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
3)符號語言
∵PA=PB
∴P在線段AB的垂直平分線上
4)定理解釋
只要有PA=PB，則P為CD上的任意一點
5)此定理應(yīng)用于證明一點在某條線段的垂直平分線上
2鞏固練習(xí)
1)已知點A和線段BC，且AB=AC，則點A在。
2)如果平面內(nèi)的點C、D、E到線段AB的兩端點的距離相等，則C、D、E均在線段AB的。
3)設(shè)是線段AB的垂直平分線，且CA=CB，則點C一定。
3、講解例題
例1填空：
1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線。
1)則BD=;
2)若∠B=40°，則∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°;
3)若AC=4，BC=5，則DA+DC=，△ACD的周長為。
2、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE為AB的中垂線，則∠1=°，∠C=°，∠3=°，∠2=°;若△ABC的周長為16cm，BC=4cm，則AC=，△BCE的周長為。
例2如圖，DE為△ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于E，AC=5，BC=8，求△AEC的周長。
分析：此題側(cè)重于讓學(xué)生體會解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。講解時借助細(xì)繩，讓學(xué)生更好地理解各線段之間的關(guān)系。
例3已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長是13cm，求△ABC的周長。
分析：此題與上例類似，在證明時，要多一步，要說明AC的長度。講解時借助細(xì)繩，讓學(xué)生更好地理解各線段之間的關(guān)系。
三、隨堂練習(xí)
1、書本P26隨堂練習(xí)1
2、《練習(xí)冊》P6
3、如圖，已知AB=AC=14cm，AB的垂直平分線交AC于D。
1)若△DBC的周長為24cm，則BC=cm;
2)若BC=8cm，則△BCD的周長是cm。
4、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，△ABC和△DBC的周長分別是60cm和38cm，求AB、BC。
5、如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，AE=2cm，求△CDB的周長。
四、小結(jié)
線段的垂直平分線在計算、證明、作圖中都有著重要作用。在前面學(xué)習(xí)中，有一些用三角形全等的知識來解決問題，現(xiàn)在可用線段垂直平分線的定理及其逆定理來解會更方便些。
五、作業(yè)
書本P27習(xí)題1.63
六、教學(xué)后記
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教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)程序教學(xué)設(shè)想
一、創(chuàng)設(shè)情景，引入課題有一塊平行四邊形的玻璃塊，假如不小心碰碎了一部分，聰明的技師拿著細(xì)繩很快將原來的平行四邊形畫了出來，你知道他用的是什么方法嗎?
第一階段感知階段
材料是：給出生活實例
教法是：觀察討論
理由是：創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情景，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，快速吸引學(xué)生注意，立刻置學(xué)生于情景中問題里。
目的是：(1)讓學(xué)生從真實的生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué);(2)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生樹立科學(xué)的人生觀和價值觀。
二、引發(fā)思考、提出議題(此環(huán)節(jié)可分為四步)
第一步“憶”——憶平行四邊形的性質(zhì)：
(1)從邊看：兩組對邊分別平行
兩組對邊分別相等
(2)從角看：兩組對角分別相等
四組鄰角互補(bǔ)
(3)從對角線看：對角線互相平分
第二步“說”——說平行四邊形性質(zhì)的逆命題
(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)兩組對角分別相等的四邊形是平形四邊形
(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
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