四邊形內角和定理的證明

2024-04-26

四邊形內角和定理的證明

　　在一次《多邊形的內角和》的課堂上，有一個教學環節是這樣設計的：讓學生思考任意一個四邊形的內角和是多少？用這種方法能否求五邊形、六邊形等多邊形的內角和？［1］而在課堂上，同學們給出了許多種求四邊形內角和的方法，雖然有的方法不太適合推廣到五邊形、六邊形，但其中不乏有課前我沒有意料到的方法，當然我也沒想到學生們會有如此多的方法。為了不打斷學生的想法，給學生一個展示自我的機會，更為了拓展學生的思維，我抓住了這一難得的機會，充分讓學生展示他們活躍的思維，而把預先準備的一些內容放到了下一節課。我不知道這樣做好不好，但至少有一點，學生們主動地進行了觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，這是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，增強了學生學習數學的興趣，使不同的人在數學上得到了不同的發展［2］。下面就一一列舉學生們的解法，其中解法一～解法五是預先設計的。

　　解法一：如圖1，連接AC，四邊形ABCD的內角和等于兩個三角形內角和的和，即180°×2=360°。

　　解法二：如圖2，連接AC、BD，四邊形ABCD的內角和等于四個三角形內角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。

　　解法三：如圖3，在四邊形ABCD內取一點P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內角和等于四個三角形內角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。

　　解法四：如圖4，在BC邊上取一點P，連接PA、PD，四邊形ABCD的內角和等于三個三角形內角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

　　解法五：如圖5，在四邊形ABCD外取一點P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內角和等于三個三角形內角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

　　解法六：如圖6，連接BD，延長BA至E，延長BC至F，∵∠EAD=∠ABD+∠BDA，∠FCD=∠CBD+∠BDC，∴四邊形ABCD的內角和等于（∠EAD+∠BAD）+（∠FCD+∠BCD）=180°+180°=360°。

　　解法七：如圖7，過點A、D分別作BC的平行線AE、DF，則∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四邊形ABCD的內角和等于∠BAD+∠EAB+（∠CDF+∠CDA）=∠BAD+∠EAB+∠ADF =∠BAD+∠EAB+∠EAD =360°。

　　解法八：如圖8，過點A、D分別作BC的垂線AE、DF，垂足分別為E、F，過點A作DF的垂線AG，垂足為G，則∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠DFB=∠C+∠CDF，∠AGF=∠DAG+∠ADF，∴四邊形ABCD的內角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠EAG=90°×4=360°。

　　解法九：若AB//CD，則∠B+∠C=∠A+∠D=180°，∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°；若AB不平行于CD，如圖9，不妨設BA、CD的延長線相交于點E，∵∠BAD=∠E+∠ADE，∠ADC=∠E+∠EAD，∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=（∠B+∠C+∠E）+（∠ADE +∠E+∠EAD）=180°+180°=360°。綜上可得，四邊形ABCD的內角和等于360°

　　解法十：連接AC，并延長至G，過點C分別作AD、AB的平行線CE、CF，則∠D=∠DCE，∠DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四邊形ABCD的內角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠BCD =∠FCB+∠FCG +∠ECG +∠DCE +∠BCD =360°。

　　以上這些證法中，充分發揮了學生的想象力、綜合運用知識的能力，很好地訓練了學生的思維，體現了“轉化”這一重要數學思想方法地靈活運用，這一點對學生的發展很重要，而這也是新課程標準所倡導的。這堂課可能是一節不合格的課，但我還是希望我們數學老師能在課堂上不斷探索、試驗，大膽創新，只要我們本著新課程的理念，本著以學生的發展為本，相信中國數學教育的未來一定會取得輝煌的成績。

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