直接證明與間接證明復習練習

2024-09-15

直接證明與間接證明復習練習

　　1.已知函數y=f(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2D(x1x2)，都有fx1+x22

　　()

　　A.y=log2x B.y=x

　　C.y=x2 D.y=x3

　　解析：可以根據圖象直觀觀察;對于C證明如下：

　　欲證fx1+x22

　　即證x1+x222

　　即證(x1-x2)20.顯然成立.故原不等式得證.

　　答案：C

　　2.設a，b，c(-，0)，則a+1b，b+1c，c+1a

　　()

　　A.都不大于-2 B.都不小于-2

　　C.至少有一個不大于-2 D.至少有一個不小于-2

　　解析：因為a+1b+b+1c+c+1a-6，所以三者不能都大于-2.

　　答案：C

　　3.凸函數的性質定理為：如果函數f(x)在區間D上是凸函數，則對于區間D內的任意x1，x2，，xn，有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn，已知函數y=sin x在區間(0，)上是凸函數，則在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值為________.

　　解析：∵f(x)=sin x在區間(0，)上是凸函數，

　　且A、B、C(0，)，

　　fA+fB+fC3fA+B+C3=f3，

　　即sin A+sin B+sin C3sin 3=332，

　　所以sin A+sin B+sin C的最大值為332.

　　答案：332

　　4.已知常數p0且p1，數列{an}的前n項和Sn=p1-p(1-an)，數列{bn}滿足bn+1-bn=logpa2n-1且b1=1.

　　(1)求證：數列{an}是等比數列;

　　(2)若對于在區間[0,1]上的任意實數，總存在不小于2的自然數k，當nk時，bn(1-)(3n-2)恒成立，求k的最小值.

　　解：(1)證明：當n2時，an=Sn-Sn-1=p1-p(1-an)-p1-p(1-an-1)，整理得an=pan-1.由a1=S1=p1-p(1-a1)，得a1=p0，則恒有an=pn0，從而anan-1=p.所以數列{an}為等比數列.

　　(2)由(1)知an=pn，則bn+1-bn=logpa2n-1=2n-1，

　　所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=n2-2n+2，

　　所以n2-2n+2(1-)(3n-2)，則(3n-2)+n2-5n+40在[0,1]時恒成立.

　　記f()=(3n-2)+n2-5n+4，由題意知，f00f10，解得n4或n1.又n2，所以n4.

　　綜上可知，k的最小值為4.

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