全都是“0”惹的禍
甘肅寧縣城關小學 張朝陽 郵編：745200
【關鍵詞】0、自然數、奇數、偶數、最小的一位數、可能性
在我校最近的考試中，一道判斷題引起了關于最小一位數的爭議，一種觀點認為0是最小的一位數，一種觀點認為1是最小的一位數。
觀點一論者拿出某雜志上刊登的某省教學研討活動簡報，其中有某中學校長和與會代表的座談紀要，一代表便提出這一問題就教于該校長，校長解釋道“原來一直認為1是最小的一位數，現在的教材把0也歸到了自然數之中，那最小的一位數也理應改為0. ”。
筆者就是觀點二的代表，盡管有人提到闡發第一種觀點的是校長、是權威，應以權威觀點為準。請問我們是要真理，還是要權威？再者，校長在職務上有權威，不能斷定他在學術上也是權威，況且他也是即興解答、未作深思。
我之所以認為“1是最小的一位數”，理由如下：
理由一：0表示沒有，那就單獨的0而言，就不含有數位，所以，0 根本就不能稱為一位數。
理由二：如果0是最小的一位數，那么我們便可以認為00是最小的兩位數，000是最小的三位數……這樣的結論有價值嗎？
理由三：在整數范圍內，0 只有放在非0數字右面才占數位，這是一個不爭的公理。如240－210＝？結果不能寫成030一樣，因為最左面的0不占數位，就是寫成“030”它也是兩位數。而85－85＝？的結果是一個也沒有，本可以什么都不寫，但別人會認為你沒有表態，為了將沒有表態和沒有東西進行區別才有了“0”這個特殊的符號，單獨的“0”不在非0數字之右，當然也不占數位了，不占數位何來位數？很顯然，創造“0”的人是把“0”歸到數的家族里面了，現在也承認它是自然數了，但并沒有肯定凡數必有數位。因此，只有將“0”放在“1--9”這些有實際意義的數字之后組成新的數時才占數位，此時的占位是為了確立其高位非0數字的數位。
理由四: 數位是數量的載體，用來承載有量的數，擁有數位的首先必須是有量的客觀存在。存在即“有”，是可物化的，除0外的其他自然數都可以與具體的物體建立起對應關系，都可具象化，唯0無法和物體建立對應關系，從這個意義上說‘0只是一個純粹的概念而已，有數無量，不具有客觀存在’，也就是說‘單獨的0根本不需要數位之舟來承載’，這是決定0單獨不占數位的本質。
理由五：若單獨的0是有數位的，為何不能和其他自然數發揮同等的作用，卻要在很多情況下剝奪其參與權利？“0除外”的情況還少嗎？在除數中--0除外；在分母中--0除外；在比的后項中--0除外；在商不變定律中--0除外；在分數的基本性質中--0除外；在比的基本性質中--0除外；在倍數、因數中 --0除外……這都是因為0的一無所有而在很多情況下沒有意義。
理由六：百位的計數單位是最小的三位數--100，十位的計數單位是最小的二位數--10，個位的計數單位是最小的一位數--1。除0以外的自然數都是由這些基本單元累積而成，如果承認0占有數位、最小的一位數是0，就要承認個位的計數單位是0，那么請問：一位數4表示幾個0呢？尷尬隨之而來。
理由七：正因為最小的一位數是1，所以有這樣的規律：一位數共有9個，不含0；二位數共有90個，不含00、01、02、03、04、05、06、07、08、09；三位數共有900個……一個最大的兩位數加上一個最小的一位數得到一個最小的三位數，一個最大的三位數加上一個最小的一位數得到一個最小的四位數……如果0 是最小的一位數，這些規律便毫無意義。
這里我要提醒大家注意區分“數與號碼”、“數與溫度”、“數與幾位數”，不是所有的數都可以歸到幾位數之中。
那么，最小的一位數能否進行人為規定呢？我認為不能。人為規定的都是比較獨立的事件，里面不用講道理，只是為了讓大家統一認識、便于交流，而最小的一位數是誰，牽扯到各種相關知識、里面存在太多的道理，對此類問題的內涵、外延、從屬等的定性，會牽動與之關聯的每一根神經，在處理時一定要用科學的、嚴謹的態度慎重對待，切不可過于隨便。若處理不當，難免在許多情境中自相矛盾，很難自圓其說，其結果是造成學術上的模糊，教學中的混亂。
以上理由能讓你接受“1是最小的一位數”這一觀點嗎？我再次提醒大家在學術問題上不要迷信領導權威，就是學術權威也偶有出錯的時候。
下面咱們再回到對那道判斷題的探討，題目是“三位數乘一位數，積可能是三位數，也可能是四位數。”對于該題的判斷也形成了兩種意見，持“最小的一位數是1”觀點的教師認為該題是對的;持“最小的一位數是0”觀點的教師認為該題將可能的結果沒有列舉完，還可能出現第三種結果，即當這個一位數是0時，積是一位數0，該題應判錯。
我認為對于此題的判斷與“0 是不是一位數”的爭議無關，不管0 是不是一位數，該題都應判對。請你再將題目細讀幾遍，該句話中兩次出現“可能”這一詞語，應該說該題是對乘積位數可能性作出的判斷，是考察可能性的題目。三位數乘一位數，不管積有沒有其它可能，但積是三位數或四位數的可能性是勿庸置疑的，原題的判定何錯之有？請與以下事例進行類比，“盒中有紅、黃、藍三種球，從中摸出一個，可能是什么顏色的球？”生1說：“可能是紅球”，生2說：“可能是紅球，也可能是黃球。”你能說他們的判斷是錯的嗎？總不能因為有第三種可能，就否定前兩種可能性的存在吧？因為題目并沒有要求將所有的可能都列舉出來呀！何況該生用“可能是……也可能是……”的措辭判定為可能事件，并沒有用“不是……就是……”判定無第三種可能，更沒有用“一定”判定為必然事件。原題亦然。
在這里我還想闡述一下0在奇數、偶數中的角色問題。現在的教輔資料和老師們普遍把0歸到了偶數之中，理由是0能被2整除。誠然，對偶數的定義是：能被2整除的數是偶數。首先讓我們就研究奇數、偶數的初衷做些推敲，奇數、偶數等同于生活中常說的單數、雙數，是以研究個體能否完全配對為出發點的，所以定義中所說的“數”應該是指可以物化的、非0的數。試想：0既然一個也沒有，也就夠不上個體，沒有個體，如何成對？奇數、偶數都應該是個體的實集而絕非空集；我們知道任意兩個奇數可以合并成一個偶數，而最小的奇數是“1”，至少要拿出兩個1方可配成一對，顯然，“一對”便是偶數的基本單元，無疑最小的偶數是2。個體在此中是何等的重要，有了個體的遞增，才有了奇偶鏈的交替延伸，相反，有了個體的遞減，才有了奇偶鏈的交替消減；我們還知道，偶數連續除以2最終可以得到一個奇數，而0呢？明知沒有，卻硬說它是單、是雙，抑或是奇、是偶，豈不是上演了一出“皇帝的新裝”？所以我認為：0既不是奇數，也不是偶數。
但愿拙論能引起大家的爭鳴，澄清這些懸而未決的焦點問題，統一認識、規范教學，以免給學生造成誤導。