在數(shù)學(xué)里，將偶指數(shù)冪是負(fù)數(shù)的數(shù)定義為純虛數(shù)。所有的虛數(shù)都是復(fù)數(shù)。定義為i2=-1。但是虛數(shù)是沒有算術(shù)根這一說(shuō)的，所以±√(-1)=±i。對(duì)于z=a bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數(shù)，i為虛數(shù)單位，A為虛數(shù)的幅角，即可表示為z=cosA isinA。實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成的一對(duì)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)看成一個(gè)數(shù)，起名為復(fù)數(shù)。虛數(shù)沒有正負(fù)可言。不是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)，即使是純虛數(shù)，也不能比較大小。
虛數(shù)的由來(lái)
隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一些 三次方程的實(shí)數(shù)根還非得用負(fù)數(shù)的平方根 表示不可。而且，如果承認(rèn)了負(fù)數(shù)的平方根，那么代數(shù)方程的有無(wú)根問題就可以得到解決，并且會(huì)得出n次方程有n個(gè)根這 樣一個(gè)令人滿意的結(jié)果。此外，對(duì)負(fù)數(shù)的 平方根按數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果也是正確的。
意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹作出一個(gè)折中表示，他稱負(fù)數(shù)的平方根為 “虛構(gòu)的數(shù)”，意思是，可以承認(rèn)它為數(shù)，但不像實(shí)數(shù)那樣可以表示實(shí)際存在的 量，而是虛構(gòu)的。到了 1632年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒，正式給了負(fù)數(shù)的平方根一個(gè) 大家樂于接受的名字——虛數(shù)。
虛數(shù)的虛字表示它不代表實(shí)際的 數(shù)，而只存在于想象之中。盡管虛數(shù)是 “虛”的，但數(shù)學(xué)家卻沒有放松對(duì)它的研 究，他們發(fā)現(xiàn)了關(guān)于虛數(shù)的許許多多的性 質(zhì)和應(yīng)用。大數(shù)學(xué)家歐拉提出了 “虛數(shù)單位”的概念，他把U 作為虛數(shù)單位，用符號(hào)i表示，相當(dāng)于實(shí)數(shù)的單位1。虛數(shù)有了單位，就能像實(shí)數(shù) 一樣，寫成虛數(shù)單位倍數(shù)的形式了。
從此，數(shù)學(xué)家把實(shí)數(shù)與虛數(shù)同等對(duì)待，并合稱為復(fù)數(shù)，于是，數(shù)的家族得到 了統(tǒng)一。任何一個(gè)復(fù)數(shù)可以寫成a bi的 形式，當(dāng)b=0時(shí)a bi=a,它就是實(shí)數(shù)，當(dāng) b#0時(shí)，a bi就是虛數(shù)了。