解三角形，是指已知三角形的幾個元素求其他元素的過程。一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的`元素。一起看看下面的解三角形練習題及答案吧！
1．有關正弦定理的敘述：
①正弦定理僅適用于銳角三角形；②正弦定理不適用于直角三角形；③正弦定理僅適用于鈍角三角形；④在給定三角形中，各邊與它的對角的正弦的比為定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc。
其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①②③不正確，④⑤正確．
答案 B
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，則AC＝（ ）
A．43 B．23
C．3 D．32
解析 由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23。
答案 B
3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，則a等于（ ）
A．6－22 B．6＋22
C．2＋1 D．3－2
解析 由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c，
∴C＝30°，從而A＝180°－（B＋C）＝105°，
∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22。
答案 B
4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，則△ABC的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
解析 利用正弦定理及第一個等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二個等式及B與C的范圍，知B＝C，故△ABC必為等腰三角形．
答案 B
5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，則B等于（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析 ∵3a＝2bsinA，
∴3sinA＝2sinBsinA。
∵sinA≠0，∴sinB＝32，
又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°。
答案 D
6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，則2sinA－sinBsinC＝________。
解析 設a＝4k，b＝3k，c＝5k（k>0），由正弦定理，得
2sinA－sinBsinC＝2×4k－3k5k＝1。
答案 1
7．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若A＝105°，B＝45°，b＝22，則邊c＝________。
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，
由csinC＝bsinB，得c＝bsinCsinB＝22×1222＝2。
答案 2
8．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，則AB＝________。
解析 ∵tanA＝13，∴sinA＝110 。
在△ABC中，ABsinC＝BCsinA，
∴AB＝BCsinAsinC＝10×12＝102。
答案 102
9．在△ABC中，若A：B：C＝1：2：3，則abc＝________。
解析 由A＋B＋C＝180°及A：B：C＝1：2：3，知A＝180°×16＝30°，B＝180°×26＝60°，C＝180°×36＝90°。
∴a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2。
答案 1：3：2
10．如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2。
（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE。
解 （1）∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°。
∴cos∠CBE＝cos15°＝cos（45°－30°）＝6＋24。
（2）在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理，得
AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，
故AE＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2。
11．△ABC三邊各不相等，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且acosA＝bcosB，求a＋bc的取值范圍．
解 ∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B。
∵2A，2B∈（0，2π），∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
∴A＝B，或A＋B＝π2。
如果A＝B，那么a＝b不合題意，∴A＋B＝π2。
∴a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA
＝2sinA＋π4。
∵a≠b，C＝π2，∴A∈0，π2，且A≠π4，
∴a＋bc∈（1，2）．
12．在△ABC中，sin（C－A）＝1，sinB＝13。
（1）求sinA；
（2）設AC＝6，求△ABC的面積．
解 （1）∵sin（C－A）＝1，－π<C－A<π，
∴C－A＝π2。
∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＋A＋π2＝π，
∴B＝π2－2A，∴sinB＝sinπ2－2A＝cos2A＝13。
∴1－2sin2A＝13。
∴sin2A＝13，∴sinA＝33。
（2）由（1）知，A為銳角，∴cosA＝63，
sinC＝sinπ2＋A＝cosA＝63，
由正弦定理得AB＝ACsinCsinB＝66313＝6。
S△ABC＝12ABACsinA＝12×6×6×33＝32。
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