立體幾何專項復習題目及答案

2022-09-24 試題

　　習題課

　　【課時目標】 1．能熟練應用直線、平面平行與垂直的判定及性質進行有關的證明．2．進一步體會化歸思想在證明中的應用．

　　a、b、c表示直線，α、β、γ表示平面．

　　位置

　　關系判定定理

　　(符號語言)性質定理

　　(符號語言)

　　直線與平面平行a∥b且__________?a∥αa∥α，________________?a∥b

　　平面與平面平行a∥α，b∥α，且________________?α∥βα∥β，________________?a∥b

　　直線與平面垂直l⊥a，l⊥b，且____________?l⊥αa⊥α，b⊥α?____

　　平面與平面垂直a⊥α，____?α⊥βα⊥β，α∩β＝a，

　　__________?b⊥β

　　一、填空題

　　1．不同直線m、n和不同平面α、β．給出下列命題：

　　①α∥βm?α?m∥β； ②m∥nm∥β?n∥β；

　　③m?αn?β?m，n異面； ④α⊥βm∥α?m⊥β．

　　其中假命題的個數為________．

　　2．下列命題中：(1)平行于同一直線的兩個平面平行；(2)平行于同一平面的兩個平面平行；(3)垂直于同一直線的兩直線平行；(4)垂直于同一平面的兩直線平行．其中正確命題的為________．

　　3．若a、b表示直線，α表示平面，下列命題中正確的有________個．

　　①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α．

　　4．過平面外一點P：①存在無數條直線與平面α平行；②存在無數條直線與平面α垂直；③有且只有一條直線與平面α平行；④有且只有一條直線與平面α垂直，其中真命題的個數是________．

　　5．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是________．

　　6．設a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是________．

　　①若a，b與α所成的角相等，則a∥b；

　　②若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b；

　　③若a?α，b?β，a∥b，則α∥β；

　　④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b．

　　7．三棱錐D－ABC的三個側面分別與底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，則二面角A－BC－D的大小為______．

　　8．如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是________．

　　9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的射影可能是________．(填序號)

　　二、解答題

　　10．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：

　　(1)DE＝DA；

　　(2)平面BDM⊥平面ECA；

　　(3)平面DEA⊥平面ECA．

　　11．如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．

　　(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

　　(2)設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

　　能力提升

　　12．四棱錐P—ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖：

　　(1)根據圖中的信息，在四棱錐P—ABCD的側面、底面和棱中，請把符合要求的結論填寫在空格處(每空只要求填一種)：

　　①一對互相垂直的異面直線________；

　　②一對互相垂直的平面________；

　　③一對互相垂直的直線和平面________；

　　(2)四棱錐P—ABCD的表面積為________．(棱錐的表面積等于棱錐各面的面積之和)

　　13．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥FB，BF＝FC，H為BC的中點．

　　(1)求證：FH∥平面EDB；

　　(2)求證：AC⊥平面EDB．

　　轉化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關系為

　　即利用線線平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明面面平行(垂直)；反過來，又利用面面平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明線線平行(垂直)，甚至平行與垂直之間的轉化．這樣，來來往往，就如同運用“四渡赤水”的戰略戰術，達到了出奇制勝的目的．

　　習題課答案

　　知識梳理

　　位置

　　關系判定定理

　　(符號語言)性質定理

　　(符號語言)

　　直線與平面平行a∥b且a?α，b?α?a∥αa∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

　　平面與平面平行a∥α，b∥α，且a?β，b?β，a∩b＝P?α∥βα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

　　直線與平面垂直l⊥a，l⊥b，且a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥αa⊥α，b⊥α?a∥b

　　平面與平面垂直a⊥α，a?β?α⊥βα⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b?α?b⊥β

　　作業設計

　　1．3

　　解析命題①正確，面面平行的性質；命題②不正確，也可能n?β；命題③不正確，如果m、n有一條是α、β的交線，則m、n共面；命題④不正確，m與β的關系不確定．

　　2．2

　　解析 (2)和(4)對．

　　3．1

　　解析 ①正確．

　　4．2

　　解析 ①④正確．

　　5．線段B1C

　　解析連結AC，AB1，B1C，

　　∵BD⊥AC，AC⊥DD1，

　　BD∩DD1＝D，

　　∴AC⊥面BDD1，

　　∴AC⊥BD1，

　　同理可證BD1⊥B1C，

　　∴BD1⊥面AB1C．

　　∴P∈B1C時，始終AP⊥BD1．

　　6．④

　　7．90°

　　解析

　　由題意畫出圖形，數據如圖，取BC的中點E，

　　連結AE、DE，易知∠AED為二面角A—BC—D的平面角．

　　可求得AE＝DE＝2，由此得AE2＋DE2＝AD2．

　　故∠AED＝90°．

　　8．36

　　解析正方體的一條棱長對應著2個“正交線面對”，12條棱長共對應著24個“正交線面對”；正方體的一條面對角線對應著1個“正交線面對”，12條面對角線對應著12個“正交線面對”，共有36個．

　　9．①④

　　10．證明 (1)如圖所示，

　　取EC的中點F，連結DF，∵EC⊥平面ABC，

　　∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，

　　∴DF⊥EC．

　　在Rt△EFD和Rt△DBA中，

　　∵EF＝12EC＝BD，

　　FD＝BC＝AB，

　　∴Rt△EFD≌Rt△DBA，

　　故ED＝DA．

　　(2)取CA的中點N，連結MN、BN，

　　則MN?12EC，

　　∴MN∥BD，∴N在平面BDM內，

　　∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，

　　∴BN⊥平面ECA，BN?平面MNBD，

　　∴平面MNBD⊥平面ECA．

　　即平面BDM⊥平面ECA．

　　(3)∵BD?12EC，MN?12EC，

　　∴BD?MN，

　　∴MNBD為平行四邊形，

　　∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，

　　∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，

　　∴平面DEA⊥平面ECA．

　　11．(1)證明因為側面BCC1B1是菱形，

　　所以B1C⊥BC1．

　　又B1C⊥A1B，

　　且A1B∩BC1＝B，

　　所以B1C⊥平面A1BC1．

　　又B1C?平面AB1C，

　　所以平面AB1C⊥平面A1BC1．

　　(2)解設BC1交B1C于點E，連結DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線．

　　因為A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．

　　又E是BC1的中點，所以D為A1C1的中點，

　　即A1DDC1＝1．

　　12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)

　　②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)

　　③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)

　　(2)2a2＋2a2

　　解析 (2)依題意：正方形的面積是a2，

　　S△PAB＝S△PAD＝12a2．

　　又PB＝PD＝2a，∴S△PBC＝S△PCD＝22a2．

　　所以四棱錐P—ABCD的表面積是

　　S＝2a2＋2a2．

　　13．

　　(1)證明如圖，設AC與BD交于點G，則G為AC的中點．連結EG，GH，由于H為BC的中點，

　　故GH?12AB．

　　又EF?12AB，∴EF?GH．

　　∴四邊形EFHG為平行四邊形．

　　∴EG∥FH．

　　而EG?平面EDB，FH?平面EDB，

　　∴FH∥平面EDB．

　　(2)證明由四邊形ABCD為正方形，

　　得AB⊥BC．

　　又EF∥AB，∴EF⊥BC．

　　而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．

　　∴EF⊥FH．

　　∴AB⊥FH．

　　又BF＝FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC．

　　∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．

　　又FH∥EG，∴AC⊥EG．

　　又AC⊥BD，EG∩BD＝G，

　　∴AC⊥平面EDB．

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