全國數學聯賽模擬題
第一試
一、 選擇題（每小題6分，共36分）：
a2 x2
1f x 是奇函數的充要條件是
x a a
（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0
2 （A）點A在直線l上 （B）點B在直線l上 （C）點C在直線l上 （C）點A、B、C均不在直線l上 3，過頂點A在空間作直線l，使l與直線AC和BC所成的角1
都等于60°．這樣的直線l可以做
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（A）4條 （B）3條 （C）2條 （D）1條
100
4n C
200
（A）61 （C）83 （B）67 （D）97
5y f x
x 大值等于 （A）3 （B）4 （C）7 （D）8
6再染2個偶數2、4；再染4后面最鄰近的3個連續奇數5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續偶數10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續奇數17、19、21、23、25．按此規則一直染下去，得到一紅色子數列1，2，第2003個數是 （A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006
二、 填空題（每小題9分，共54分）：
＋1)2，A為直角頂點，且|z|＝2．設集合M＝{m|zm∈R，m∈N
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2015全國數學聯賽模擬題
＝
1
，m∈M}．則集合P所有元素之和等于 m2
．
4
x2 2a2 2x a2 4a 7
0 222
x a 4a 5x a 4a 7
的解集是一些區間的.并集，且這些區間的長度的和小于4，則實數a的取值范圍是 ．
計項目M有可能獲得19%到24%的年利潤，N有可能獲得29%到34%的年利潤．年終銀行必須回籠資金，同時按一定的回扣率支付給儲戶．為使銀行的年利潤不少于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%，則給儲戶的回扣率的最小值是 ．
2＋by2＝1在圓x2＋y2
的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范圍
是 ．
6、同底的兩個正三棱錐內接于同一個球．已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R．設兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為 、 ，則tan( ＋ )的值是 ．
三、 （20分）
△ABC的三邊長a、b、c（a≤b≤c）同時滿足下列三個條件 （i）a、b、c均為整數；
（ii）a、b、c依次成等比數列； （iii）a與c中至少有一個等于100．
求出(a,b,c)的所有可能的解．
四、 （20分）
在三棱錐D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求異面直線AD與BC所成的角．
五、 （20分）
設正系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根．證明： （1） max{a,b,c}≥
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