行程問題中多次折返問題的試題及參考答案

2021-06-09 試題

　　行程問題是奧數中的重點，也是不少小升初的考試重點，不少學校都把行程問題當壓軸題，可見學校對行程的重視程度，由于行程題本身題干就很長，模型多樣，變化眾多，所以對學生來說處理起來很頭疼，而這也是學校考察的重點，這可以充分體現學生對題目的分析能力。下面是行程問題中多次折返問題的試題及答案解析：

　　【例題】一個圓的圓周長為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發沿圓周相向爬行。這兩只螞蟻每秒鐘分別爬行5.5厘米和3.5厘米，在運動過程中它們不斷地調頭。如果把出發算作第零次調頭，那么相鄰兩次調頭的時間間隔順次是1秒、3秒、5秒、……，即是一個由連續奇數組成的數列。問它們相遇時，已爬行的`時間是多少秒？（★★★★）

　　【方法一】：找路程規律

　　【思路】：通過處理，找出每次爬行縮小的距離關系規律。

　　【解】：兩只螞蟻相距1.26÷2=0.63米=63厘米，相向爬行1秒距離縮小5.5+3.5=9（厘米），

　　如果不調頭需要63÷9=7（秒）相遇。

　　第1輪爬行1秒，假設向上半圓方向爬，距離縮小9×1厘米；

　　第2輪爬行3秒，調頭向下半圓方向爬，距離縮小9×（3-1）=9×2厘米；

　　第3輪爬行5秒，調頭向上半圓方向爬，距離縮小9×（5-2）=9×3厘米；……

　　每爬行1輪距離縮小9×1厘米，所以爬行7輪相遇，時間是7×7=49（秒）

　　答：它們相遇時，已爬行的時間是49秒。

　　【方法二】：

　　【思路】：對于這種不斷改變前進方向的問題，我們先看簡單的情況：

　　我們不難發現，小螞蟻的活動范圍在不斷擴大，每次離0點都遠了一格.當兩只螞蟻活動范圍重合時，也就是它們相遇的時候. 另外我們從上面的分析可知，每一次改變方向時，兩只螞蟻都在出發點的同一側.這樣，通過相遇問題，我們可以求出它們改變方向的次數，進而求出總時間。