1外點法
外點法求解約束優(yōu)化問題：對于不等式約束：gu（X）≤0，u=1，2，…，m。
（1）取復(fù)合函數(shù)（懲罰項）為G［gu（X）］=mu=1｛max［gu（X），0］｝2。
（2）其中，max［gu（X），0］表示將約束函數(shù)gu（X）的值和零比較，取其中較大的一個。對于等式約束hv（X）=0，v=1，2，…，p。
（3）取復(fù)合函數(shù)（懲罰項）為H［hv（X）］=pv=1［hv（X）］2。
（4）對于一般的約束優(yōu)化問題，外點罰函數(shù)的形式為：準(zhǔn)（X，rk）=（fX）+rkmu=1｛max［gu（X），0］｝2+rkpv=1［hv（X）］2。
（5）式中，rk為懲罰因子，rk>0。懲罰項與懲罰函數(shù)隨懲罰因子的變化而變化，當(dāng)懲罰因子按一個遞增的正數(shù)序列0<r0<r1<…<rk<rk+1<…變化時，依次求解各個rk所對應(yīng)的懲罰函數(shù)的極小化函數(shù)，得到的極小點序列X（0），X（1），…，X（k），X（k+1），…將逐步逼近于約束函數(shù)的最優(yōu)解，而且一般情況下該極小序列是由可行域外向可行域邊界逼近。綜上所述，外點法是通過對非可行點上的函數(shù)值加以懲罰，促使迭代點向可行域和最優(yōu)點逼近的算法。因此初始點可以是可行域的`內(nèi)點，也可以是可行域的外點，這種方法既可以處理不等式的約束，又可以處理等式的約束，可見外點法是一種適應(yīng)性較好的懲罰函數(shù)法。外點法的計算步驟：1）給定初始點X（0）、收斂精度ε、初始罰因子r0和懲罰因子遞增系數(shù)c，置k=0；2）構(gòu)造懲罰函數(shù)準(zhǔn)（X，rk）=f（X）+rkmu=1｛max［gu（X），0］｝2+rkpv=1［hv（X）］2；3）求解無約束優(yōu)化問題min準(zhǔn)（X，rk），得X*，令X（k+1）=X*；4）收斂判斷。若滿足條件‖X（k+1）-X（k）‖≤ε，
（6）和（fX（k+1））-（fX）（k）（fX（k））≤ε。
（7）則令X*=X（k+1），（fX*）=（fX（k+1）），結(jié)束計算；否則，令rk+1=crk，k=k+1，轉(zhuǎn)至步驟2）繼續(xù)迭代。
2建立箱型主梁的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型
2.1確定設(shè)計變量及目標(biāo)函數(shù)
由于門式起重機(jī)箱型主梁主要承受主梁和提升小車的結(jié)構(gòu)自重以及吊重荷載，因此門式起重機(jī)箱型主梁的計算簡圖所示，其中提升小車和吊重荷載為集中載荷P1=120000N，主梁自重為均布載荷P2=125N/m，以小車位主梁跨中時為優(yōu)化分析工況，此時主梁為最大撓度工況。箱型主梁材料為Q235B，密度為7.8×103kg/m3。主要結(jié)構(gòu)參數(shù)有：主梁跨度L，梁高H，梁寬B，腹板厚度d1和翼緣板厚度d2。其中跨度L是給定參數(shù)1050cm，其余都是可改變的。取設(shè)計變量為梁高x1，梁寬x2，腹板厚度x3和翼緣板厚度x4。寫成向量形式：X=［x1，x2，x3，x4］T=［H，B，d1，d2］T。（8）門式起重機(jī)主梁的自重是起重機(jī)設(shè)計的一個重要指標(biāo)，本文取起重機(jī)箱型主梁重量最輕為優(yōu)化目標(biāo)。由于梁的跨度L為已知，所以可用梁的截面面積來作為目標(biāo)函數(shù)。同時，又因為梁的高度和寬度尺寸遠(yuǎn)大于板的厚度尺寸，故截面面積之半可近似為f（X）=x1x3＋x2x4。（9）這就是本優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。
2.2確定目標(biāo)函數(shù)的約束條件
1）強(qiáng)度條件。由計算簡圖可知該梁承受雙向彎曲，故強(qiáng)度條件的表達(dá)式為：g1（X）=σ-［σ］≤0。（10）式中，σ為圖1所示載荷作用下箱型主梁跨中翼緣板的計算應(yīng)力，［σ］為許用應(yīng)力140MPa。代入設(shè)計變量和載荷即可得到強(qiáng)度約束條件：g1（X）=3L4P1+7.8×10-5（x1x3+x2x4）L3x1x2x4+x21x3+P23x1x2x3+x22x4≤≤-140≤0。（11）其中長度單位為mm，力的單位為N（以下同）。
2）剛度條件。剛度約束條件（梁跨中撓度限制）：主梁產(chǎn)g2（X）=k3x21x2x4+x31x3-［f］≤0。（12）其中，k=P1L3/1.68×106，［f］=L700（允許撓度）代入式（12）可得：g2（X）=P1L3（3x21x2x4+x31x3）×1.68×106-L700≤0。（13）
3）翼緣板局部穩(wěn)定性條件。翼緣板寬度和厚度的比值約束翼緣板承受壓應(yīng)力。保證箱型翼緣板局部穩(wěn)定性而不需要加筋的條件為：g3（X）=x2/x4-60≤0。（14）
4）腹板局部穩(wěn)定性條件。主梁腹板高度和厚度比值的約束由參考文獻(xiàn)［11］知，腹板會在兩種情況下失去穩(wěn)定：一是在剪應(yīng)力作用下失穩(wěn)；二是在壓應(yīng)力作用下失穩(wěn)。為了防止后一種情況產(chǎn)生，常在腹板區(qū)設(shè)置縱向加強(qiáng)筋板。但是加筋過多不僅會增加制造成本，而且焊縫過多會引起較大的應(yīng)力集中，故在設(shè)計時只考慮在腹板上加1條縱筋。腹板加1條縱筋的條件是g4（X）=x1/x3-160≤0。（15）
5）幾何約束條件。考慮到便于焊接加工，板厚不得小于5mm，于是得到幾何約束條件：g5（X）=0.5-x3≤0；（16）g6（X）=0.5-x4≤0。（17）利用外點罰函數(shù)法，可將該約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下無約束優(yōu)化問題：求X=［x1，x2，x3，x4］T，使min準(zhǔn)（X，rk）=x1x3+x2x4+rk6i=1［max（gi（X），0］2。（18）初始化參數(shù)為X=［760，310，5，8］，隨著r的遞增，逐次對準(zhǔn)（X，rk）求極小，上述無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解X*k收斂于原問題的最優(yōu)解X*。
3基于MATLAB編程求解最優(yōu)解
1）MATLAB編程。對于上述非線性無約束優(yōu)化問題，可以采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fminsearch函數(shù)計算。其格式如下：x=fminsearch(fun,x0,options);[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options);式中：fun為目標(biāo)函數(shù)；x0為初始點；fval為返回函數(shù)在最優(yōu)解點的函數(shù)值；exitflag為迭代終止標(biāo)志；options為設(shè)置優(yōu)化項目參數(shù)。
2）優(yōu)化結(jié)果。對程序運(yùn)行結(jié)果所得參數(shù)進(jìn)行圓整，得到表1門式起重機(jī)箱型主梁優(yōu)化結(jié)果比較。
4結(jié)論
本文采用外點罰函數(shù)法求解門式起重機(jī)箱型主梁的非線性無約束優(yōu)化問題，從優(yōu)化結(jié)果看，在滿足起重機(jī)箱型主梁強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等約束條件下，自重減輕了19.8%，優(yōu)化效果顯著。并且采用MATLAB編程求解最優(yōu)解，大大提高了優(yōu)化效率和可靠性。隨著現(xiàn)代計算技術(shù)的發(fā)展和響應(yīng)節(jié)能的要求，優(yōu)化技術(shù)將會越來越來越廣泛地應(yīng)用于各個設(shè)計領(lǐng)域。
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