摘要:幾何是中學數(shù)學課程中不可或缺的重要內(nèi)容,我國義務教育新課程標準強調(diào)要在數(shù)學活動中學習幾何,即“做數(shù)學”,十分注重探索圖形性質(zhì)的過程。這篇文章以van Hiele思維層次理論為依據(jù),闡述了初中學生學習幾何的思維發(fā)展過程,提出了一些促進學生入門、提升學生幾何思維發(fā)展的教學策略和手段,并附上了一節(jié)幾何課的教學設(shè)計樣例。
關(guān)鍵詞:van Hiele思維層次;幾何;五步教學法
在小學里,學生主要依靠直覺思維來解決有關(guān)圖形的問題,進入中學后,學生開始正式的幾何學習,初步接觸到幾何邏輯證明時,往往感到困難。這其中的原因并不絕對是學生的“懶惰”或者先天智商不高,而是學生的思維發(fā)展是一個循序漸進的過程,如果學生陡然遇到超過他們的思維理解能力的教學內(nèi)容,那么他們會無法跟上。這就需要教師研究中學生的幾何思維發(fā)展過程,針對學生的具體水平設(shè)計適當?shù)慕虒W,引導學生一步步經(jīng)歷和完成各階段的學習,從而逐漸提高學生的思維水平。
一、Van Hiele幾何思維層次
1957年,荷蘭數(shù)學教育學家Dina van Hiele-Geldof和Pierre van Hiele提出了幾何思維層次理論(Van Hiele levels)。他們將學生的幾何思維發(fā)展分為逐級升高的五個層次:
層次1:視覺期(Visual)。學生僅憑視覺整體印象來辨認基本圖形,直接將概念鏈接到門、籃球等具體模型;
層次2:描述期(Analysis)。學生能依據(jù)操作經(jīng)驗認識到圖形的性質(zhì),但不理解性質(zhì)之間的關(guān)系,不能區(qū)別充分和必要條件,也不能將圖形分類;
層次3:關(guān)系期(Abstract/Informal Deduction)。學生接受并能使用定義,能認識圖形之間和性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系,能作一些簡單的非正式的推理,但不能形式化地區(qū)別命題和逆命題;
層次4:推理期(Deduction)。學生不再死記硬背,確信必須經(jīng)過正式的邏輯推理才能建立定理,能建構(gòu)證明過程;
層次5:公理期(Rigor)。學生能夠理解幾何體系及抽象性,能夠在不同的公理系統(tǒng)下嚴謹?shù)亟⒍ɡ聿⑶曳治觥⒈容^這些系統(tǒng)。
Van Hiele認為:各層次的發(fā)展是循序漸進的,若要成功發(fā)展某一特定層次,必須先具備前一層次的概念和思維策略;思維層次的進步更依賴于教學,而非年齡的增長;沒有一種教學法能讓學生跳過某一層次而直接達到下一層次;某一層次的討論對象可變成下一層次的研究對象;每一層次都有自己獨特的語言符號及關(guān)系系統(tǒng),同樣的名詞在不同層次所代表的概念可能不同。所以,最重要的是:教學必須配合學生的思維層次。
顯然,剛從小學升入初中的學生的思維層次大多是層次1或2,這時數(shù)學教師的任務是促進學生“入門”,使學生經(jīng)歷能提升其幾何思維層次的教學,做好兩個學段幾何學習的銜接。
二、促進初中生幾何思維發(fā)展的教學策略
以講授和記憶為主的、對學生的學習要求一刀切的教學不能導致有效的學習,經(jīng)驗、操作、討論和反思才能幫助學生發(fā)展思維層次。具體地說:
1.教師應評估學生的幾何思維水平,給思維層次不同的學生安排不同的學習任務和學習角色,使學生接受適合自身經(jīng)驗的學習任務,并互相促進。新課程標準明確指出“教師要及時了解并尊重學生的個體差異,滿足多樣化的學習需要。教學中要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化,尊重學生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平”。所以對于基礎(chǔ)很弱的學生,應該從層次1起步。如果教師盲目地將不契合學生的思維水平的學習內(nèi)容提供給學生,就會造成學生聽不懂,繼而死記硬背,最后喪失學習興趣的后果。
2.教師應給學生提供探索和運用的機會,讓學生獲得在每一階段應有的學習經(jīng)驗,發(fā)展對概念和性質(zhì)的理解,從而逐級提高思維層次。在學習幾何概念時,應該讓學生經(jīng)歷認識圖形,再分析圖形的特征,再發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系,最后作簡單的推理證明這樣一個循序漸進的過程。例如在學習矩形時,先由學生作圖,說明該圖形是矩形的理由,歸納矩形的定義,通過測量發(fā)現(xiàn)性質(zhì),明確矩形也是平行四邊形的一種,再反過來,用幾何畫板工具提供一個普通的凸四邊形和一個平行四邊形給學生,讓他們拖動鼠標,分別找出四邊形和平行四邊形成為矩形應具備的條件。
3.教師應該給學生提供適當?shù)臋C會進行討論。在幾何學習中,語言起十分重要的作用,學生通過說、聽和讀來明晰和發(fā)現(xiàn)自己的觀點,從而獲得知識,所以應提供動態(tài)的教室學習環(huán)境和適合學生積極參與、討論、描述、示范的問題情境,使學生交談,分享發(fā)現(xiàn),質(zhì)疑,確認,形成書面表達。每一個層次都有自己的語言風格和解釋方式,對于層次1的學生要鼓勵他們用非正式語言分類、列舉和辨析,對于層次2的學生要通過問題和活動引導他們發(fā)現(xiàn)關(guān)系,總結(jié)定義,對于層次3的學生要鼓勵他們口頭解決問題并說出推理依據(jù)。
三、“五步教學法”促進初中生幾何思維層次發(fā)展
Van Hieles夫婦推薦在特定的幾何概念學習中使用五步教學法來提升學生的.思維水平:
1.學前咨詢(Information):在教學之前,教師通過觀察與發(fā)問,了解學生已具備哪些知識,以作為教學準備與參考。在對話中及時引入主題、學習目標,提出問題。重點:雙向溝通。
2.引導學習方向(Guided orientation):教師布置簡短的任務(問題或作業(yè)),使學生探究所要研究的領(lǐng)域,并了解研究的進一步方向。這些任務大都要求學生在教師的引導下,使用排列、組合、積木、折紙、畫圖等操作方式進行探索。例如:讓學生沿對角線折疊菱形,然后問他們有什么發(fā)現(xiàn)。在這種有計劃的引導過程中,主題所包含的概念、性質(zhì)和關(guān)系逐漸變得明確。重點:任務操作。
3.整合(Integration):使學生總結(jié)所學的幾何概念、知識點和方法,形成知識網(wǎng)絡(luò),并在作業(yè)和其他任務中進一步理解和運用,在此過程中,學生也獲得了相關(guān)解決問題的方法的經(jīng)驗。重點:總結(jié),再運用。
例如:人教版七年級上學期“第四章4.2線段,射線,直線”中的概念教學設(shè)計:
A.導入新課(雙向溝通)
提出問題:生活中,你見過線段、射線、直線嗎?(學前咨詢)
(由學生列舉,教師板書,但不急于指明是否準確)(留下疑問)
指明學習目標(使學生明確學習目標)
1.理解和區(qū)別線段、射線、直線的概念;
2.會用符號表示線段、射線、直線;
3.理解公理“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”。
指明學習方法:(使學生作好學習準備)
作圖、討論(希望同學們踴躍發(fā)言,提出觀點和看法)
B.新課探索(任務操作)
1.請你在紙上用直尺和鉛筆分別作出你心目中的線段、射線、直線;強化視覺然后向你的同伴解釋一下哪個是線段,哪個是直線,哪個是射線。并且告訴他你根據(jù)什么來區(qū)分三者?(描述,解釋)
2.找一對同伴到黑板作圖和解釋根據(jù)什么區(qū)分三者。(分享,表達)
C.學習新課(口頭表達、書面表達)
(一)認識線段、射線、直線(解說)
1.線段:圖形,表示方法,實例,特點。
2.射線:圖形,表示方法,實例,特點。
3.直線:圖形,表示方法,實例,特點。
請你想一想:生活中,還有哪些物體可以近似地看作線段、射線、直線?
(發(fā)散思維)
請回頭查一查:課前提出的幾個生活中的實例是否符合這些定義?(現(xiàn)實生活中嚴格意義的直線較難看到)(收斂思維)
用表格歸納三者之間的聯(lián)系及表達方式。(由學生填)(歸納,用圖表強化記憶)
觀察表格,說說有哪些值得注意的地方?(由學生說)(學習使用規(guī)范的語言)
(寫清線的名稱;直線與線段的表示方法基本相同;射線的端點必須寫在前面)
D.自由探索(運用)
1.作圖練習(自由探索,累積經(jīng)驗)
(1)作直線MN,在直線MN上任取一點C;這樣的點可以取多少個?
(理解直線上有無數(shù)個點)
(2)作線段AB,先延長AB,再延長BA;線段AB與直線AB是什么關(guān)系?
(理解線段是直線的一部分)
(3)作線段CD,再反向延長線段CD;線段CD與射線DC是什么關(guān)系?(理解線段與射線的關(guān)系)
(4)作射線OK,再反向延長射線OK。射線OK與直線OK是什么關(guān)系?(理解射線是直線的一部分)
板書:線段,射線都是直線的一部分。(整合“關(guān)系”)
2.作圖說話(再運用)
(1)作直線MN,在直線MN上任取兩點A,B,你在圖中找到了幾條線段?
(因為線段無方向,所以線段AB就是線段BA)
(2)作直線MN,在直線MN上任取三點A,B,C,你在圖中找到了幾條線段?
(端點不同,線段不同)
(3)在直線MN上任取四點A,B,C,D,你又在圖中找到了幾條線段?
(4)順著這個思路,你能給大家出下一問嗎?
(在直線MN上任取n個點,你能找到幾條線段?)
E.小結(jié):線段、射線、直線的概念。(整合)
F.作業(yè):課本132頁第4題。(再運用)
這個教學設(shè)計將一個主題的學習過程分成“操作,觀察,表達,辨析,歸納”五個流程,充分調(diào)動學生的視覺、語言表達能力,在操作、觀察、表達和交流活動中來體會、感受概念之間的關(guān)系。
van Hiele思維層次或許仍有爭議或者有其不完善的方面,但是其提倡從學生的視覺、語言表達、動手操作、探索概念間的關(guān)系、整合等多角度來完成幾何教學,使學生逐步形成概念網(wǎng)絡(luò),養(yǎng)成“說理有據(jù)”的態(tài)度和勇于交流討論的精神,體會到探索幾何概念和性質(zhì)的樂趣,這對剛?cè)腴T學生幾何學習的教學指導意義是不言而喻的,希望這篇論文所提出的建議能給數(shù)學教師以參考,使幾何教學更加有趣、有效。
