均值定理又叫基本不等式，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，在日后的函數(shù)求最值問(wèn)題中有十分頻繁的應(yīng)用。以下是小編整理的職高均值定理課件，歡迎閱讀。
復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.掌握均值定理.
2.會(huì)用均值定理求最值和證明不等式.
3.會(huì)解不等式的應(yīng)用題.
知識(shí)回顧
均值定理及重要不等式：
一.均值定理：
，其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);
注：注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：
(1);(2)與的積是一個(gè)定值(正數(shù));(3)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
記憶時(shí)可記為一“正”、二“定”、三“等”.
二、重要不等式
(1);
(2)， 其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
三.例題精解
【例1】 (1)如果，則的最大值是 ;
(2)如果，則的最小值是 .
分析：兩題顯然都可以用均值定理求解.
解：(1)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值4.
(2)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值6.
【點(diǎn)評(píng)】(1)若，且(常數(shù))，則;
(2)若，且(常數(shù))，則.
【例2】 當(dāng)時(shí)，求的最大值.
分析：由于為定值，且依題意有，故可用均值定理，求最值.
解：∵,∴
當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)，取最大值8.
【例3】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.
分析： ，由于為定值，且依題知，故可用均值定理求最值.
解：∵，∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值3.
【例4】求函數(shù)的最小值，下列解法是否正確?為什么?
解法一：
∴
解法二：，當(dāng)，即時(shí)，
∴
答：以上兩種解法均有錯(cuò)誤。解一錯(cuò)在取不到“=”，即不存在使得;解二錯(cuò)在不是定值(常數(shù)).
正確的解法是：
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，
【點(diǎn)評(píng)】(1)用求最值時(shí)需要同時(shí)滿足如下三個(gè)條件：
①;
②為常數(shù);
③“=”可取.
(2)注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的.條件：一“正”、二“定”、三“等” .
(3)利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù).通常要通過(guò)添加常數(shù)、拆項(xiàng)(常常是拆低次的式子)等方式進(jìn)行構(gòu)造.
【例5】若正數(shù)滿足，求的最小值.
解：∵ ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值.
【例6】將一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角(四個(gè)全等的正方形)，做成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少?最大容積是多少?
解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為
則其容積為
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，
所以當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為時(shí)，鐵盒的容積最大為.
同步訓(xùn)練
1.為非零實(shí)數(shù)，那么不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
2.設(shè)則下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.如果>0，則≥ .
4.如果，則的最大值是 .
5.如果，則的最小值是 .
6.如果，則的最小值是 .
7.已知，函數(shù)的最小值是 .
8.已知，函數(shù)的最大值是 .
9.已知，函數(shù)的最大值是 .
10.已知，函數(shù)的最小值是 .
11.若，,，則的最大值是 .
12.當(dāng)時(shí)，求的最小值, 并求此時(shí)的取值.
13.已知，求的最小值, 并求此時(shí)的取值.
14.已知：，求的最大值，并求此時(shí)的取值.
15.當(dāng)時(shí)，求的最小值.
16.用鐵皮做圓柱形的密封式罐頭瓶，要求它的體積為定值V，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)底面圓的半徑和它的高，才能使用料最省.
17.制作一個(gè)容積為的圓柱形容器(有底有蓋)，問(wèn)圓柱底半徑和高各取多少時(shí)，用料最省?(不計(jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料)
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