教材分析
圓是學生比較熟悉的曲線,在初中幾何課中就已學過圓的定義及性質.這節主要是用坐標的方法畫圓---建立圓的方程.首先是根據圓的定義,建立圓的標準方程,進而研究圓的一般方程,并在此基礎上,運用坐標法,探討直線與圓、圓與圓的位置關系.由于圓是一種對稱、和諧的圖形,有很多優美的幾何性質,因此,在運用坐標法解決問題的同時,充分利用了圓的幾何性質.這節課的重點是圓的兩種方程的求法及互化,直線與圓位置關系、數量關系的判定與求解.難點是對待定系數法、數形結合等方法的理解及靈活應用.
教學目標
1. 理解和掌握圓的標準方程和一般方程,并會熟練地進行方程的互化,能根據條件靈活選用適當的方法建立圓的方程.
2. 在直線的方程、圓的方程的基礎上,用代數、幾何兩種方法研究直線與圓的位置關系.
3. 初步學會用待定系數法、數形結合法解決與圓有關的一些簡單問題.
4. 能應用圓的方程解決一些簡單的實際問題,培養學生應用數學分析、解決實際問題的能力.
任務分析
圓是學生比較熟悉的一種曲線,建立圓的方程也比較容易.學習時,應根據問題條件,靈活適當地選取方程形式,否則,可能導致解題過程過于煩鎖.在解決直線與圓、圓與圓位置關系問題時,要盡可能挖掘、應用關于圓的隱含條件,要注意數形結合、待定系數法的應用.
教學設計
一、問題情境
圓是最完美的曲線,它是平面內到一定點的距離等于定長的點的集合.定點是圓心,定長是半徑.在平面直角坐標系中,怎樣用坐標的方法刻畫圓呢?
[問 題]
河北省趙縣的趙州橋,是世界著名的古代石拱橋,也是造成后一直使用到現在的最古老的石橋.趙州橋的跨度是37.02m,圓拱高約為7.2m.建立適當的'平面直角坐標系,寫出這個圓拱所在的圓的方程.
解析:要求圓的方程,只要確定圓心的位置和半徑的大小.
第一步:以圓拱對的弦所在的直線為x軸、弦的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.根據平面幾何知識可知,圓拱所在圓的圓心O必在y軸上,故可設O1(0,b).
第二步:設圓拱所在圓的半徑為r,則圓上任意一點P(x,y)應滿足O1P=r,即
①
因此,只須確定b和r的值,就能寫出圓的方程.
第三步:將點B(18.51,0),C(0,7.2)分別代入①,
得
解得
故趙州橋圓拱所在的圓的方程為x2+(y+20.19)2=750.21.
二、建立模型
(1)一般地,設點P(x,y)是以C(a,b)為圓心、r為半徑的圓上的任意一點,則CP=r.
由兩點間的距離公式,得 ,??? ①
即(x-a)2+(y-b)2=r2.
反過來,若點P1的坐標(x1,y1)是方程①的解,
則(x1-a)2+(y1-b)2=r2,即
這說明點P1(x1,y1)在以C(a,b)為圓心、r為半徑的圓上.
結論:方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫作以(a,b)為圓心、r為半徑的圓的標準方程.
特別地,當圓心為原點O(0,0)時,圓的方程為x2+y2=r2.
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