函數的單調性與極值導學案
函數的單調性與極值導學案
目的要求
1.理解并掌握函數最大值與最小值的意義及其求法.
2.弄清函數極值與最值的區別與聯系.
3.養成整體思維的習慣，提高應用知識解決實際問題的能力.
內容分析
1.教科書結合函數圖象，直觀地指出函數最大值、最小值的概念，從中得出利用導數求函數最大值和最小值的方法.
2.要著重引導學生弄清函數最值與極值的區別與聯系.函數最大值和最小值是比較整個定義域上的函數值得出的，而函數的極值則是比較極值點附近兩側的函數值而得出的，是局部的.
3.我們所討論的函數y=f(x)在[a，b]上有定義，在開區間(a，b)內有導數.在文科的數學教學中回避了函數連續的概念.規定y=f(x)在[a，b]上有定義，是為了保證函數在[a，b]內有最大值和最小值;在(a，b)內可導，是為了能用求導的方法求解.
4.求函數最大值和最小值，先確定函數的極大值和極小值，然后，再比較函數在區間兩端的函數值，因此，用導數判斷函數極大值與極小值是解決函數最值問題的關鍵.
5.有關函數最值的實際應用問題的教學，是本節內容的難點.教學時，必須引導學生確定正確的數學建模思想，分析實際問題中各變量之間的關系，給出自變量與因變量的函數關系式，同時確定函數自變量的實際意義，找出取值范圍，確保解題的正確性.從此，在函數最值的求法中多了一種非常優美而簡捷的方法求導法.依教學大綱規定，有關此類函數最值的實際應用問題一般指單峰函數，而文科所涉及的函數必須是在所學導數公式之內能求導的函數.
教學過程
1.復習函數極值的一般求法
①學生復述求函數極值的三個步驟.
②教師強調理解求函數極值時應注意的幾個問題.
2.提出問題(用字幕打出)
①在教科書中的(圖2-11)中，哪些點是極大值點?哪些點是極小值點?
②x=a、x=b是不是極值點?
③在區間[a，b]上函數y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?
④一般地，設y=f(x)是定義在[a，b]上的函數，且在(a，b)內有導數.求函數y=f(x)在[a，b]上的最大值與最小值，你認為應通過什么方法去求解?
3.分組討論，回答問題
①學生回答：f(x2)是極大值，f(x1)與f(x3)都是極小值.
②依照極值點的定義討論得出：f(a)、f(b)不是函數y=f(x)的極值.
③直觀地從函數圖象中看出：f(x3)是最小值，f(b)是最大值.
(教師在回答完問題①②③之后，再提問：如果在沒有給出函數圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢?)
④與學生共同討論，得出求函數最值的一般方法：
i)求y=f(x)在(a，b)內的極值(極大值與極小值);
ii)將函數y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)作比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
4.分析講解例題
例4 求函數y=x4-2x2+5在區間[-2，2]上的最大值與最小值.
板書講解，鞏固求函數最值的求導法的兩個步驟，同時復習求函數極值的一般求法.
例5 用邊長為60cm的正方形鐵皮做一個無蓋小箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90角，再焊接而成(教科書中圖2-13).問水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大，最大容積為多少?
用多媒體課件講解：
①用課件展示題目與水箱的制作過程.
②分析變量與變量的關系，確定建模思想，列出函數關系式V=f(x)，xD.
③解決V=f(x)，xD求最值問題的方法(高次函數的最值，一般采用求導的方法，提醒學生注意自變量的實際意義).
④用幾何畫板平臺驗證答案.
5.強化訓練
演板P68練習
6.歸納小結
①求函數最大值與最小值的兩個步驟.
②解決最值應用題的一般思路.
布置作業
教科書習題2.5第4題、第5題、第6題、第7題.
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