函數(shù)的基本問題總結(jié)

2024-08-12

函數(shù)的基本問題總結(jié)

　　一、函數(shù)的單調(diào)性

　　1.增函數(shù)和減函數(shù)

　　一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：

　　如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2).那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。

　　如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

　　2.單調(diào)區(qū)間

　　單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值Y，隨自變量X增大而增大（或減小）恒成立。如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)。那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y= f(x)的單調(diào)區(qū)間。

　　二、三角函數(shù) 1.三角函數(shù)

　　三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上就是解最簡單的三角不等式，通常可用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線來求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,如何運(yùn)用三角函數(shù)的圖像解決問題能夠幫助對數(shù)形結(jié)合思想的掌握。

　　2.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

　　公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值

　　公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

　　sin（π+α）=—sinα

　　cos（π+α）=－cosα

　　tan（π+α）=tanα

　　cot（π+α）=cotα

　　公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

　　sin（－α）=－sinα

　　3.銳角三角函數(shù)

　　在△ABC中，∠C為直角，∠A和∠B是銳角

　　（1）我們把銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA...

　　三、指數(shù)函數(shù) 1.指數(shù)函數(shù)的定義

　　指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R).

　　2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

　　（1）曲線沿x軸方向向左無限延展〈=〉函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞）

　　（2）曲線在x軸上方，而且向左或向右隨著x值的減小或增大無限靠近X軸（x軸是曲線的漸近線）〈=〉函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）

　　四、對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1.定義

　　對數(shù)：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log aN=b,讀作以a為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

　　對數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)y=log(a)X，（其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1）叫做對數(shù)函數(shù)，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

　　2.方法點(diǎn)撥

　　在解決函數(shù)的綜合性問題時，要根據(jù)題目的具體情況把問題分解為若干小問題一次解決，然后再整合解決的結(jié)果，這也是分類與整合思想的一個重要方面。

　　五、冪函數(shù)

　　1.定義

　　形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　2.性質(zhì)

　　冪函數(shù)不經(jīng)過第三象限,如果該函數(shù)的指數(shù)的分子n是偶數(shù),而分母m是任意整數(shù),則y>0,圖像在第一;二象限.這時(-1)^p的指數(shù)p的奇偶性無關(guān).

　　如果函數(shù)的指數(shù)的分母m是偶數(shù),而分子n是任意整數(shù),則x>0(或x>=0);y>0(或y>=0),圖像在第一象限.與p的奇偶性關(guān)系不大